Bài 6 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình Toán 11 tập 2, Chân trời sáng tạo. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 6 trang 49, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất \(x\) mặt hàng
Đề bài
Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất \(x\) mặt hàng là \(C\left( x \right) = \sqrt {5{x^2} + 60} \) và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong \(t\) tháng kể từ nay theo hàm số \(x\left( t \right) = 20t + 40\). Chi phí sẽ tăng nhanh thế nào sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính \(C'\left( t \right)\) với \(t = 4\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(C'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {5{x^2} + 60} } \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {5{x^2} + 60} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {5{x^2} + 60} }} = \frac{{10{\rm{x}}}}{{2\sqrt {5{x^2} + 60} }} = \frac{{5{\rm{x}}}}{{\sqrt {5{x^2} + 60} }}\)
\(x'\left( t \right) = {\left( {20t + 40} \right)^\prime } = 20\)
\( \Rightarrow C'\left( t \right) = C'\left( x \right).x'\left( t \right) = \frac{{5{\rm{x}}}}{{\sqrt {5{x^2} + 60} }}.20 = \frac{{100\left( {20t + 40} \right)}}{{\sqrt {5{{\left( {20t + 40} \right)}^2} + 60} }}\)
Tốc độ tăng chi phí sau 4 tháng là: \(C'\left( 4 \right) = \frac{{100\left( {20.4 + 40} \right)}}{{\sqrt {5{{\left( {20.4 + 40} \right)}^2} + 60} }} \approx 44,7\)
Bài 6 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Bài 6 yêu cầu học sinh tính đạo hàm của các hàm số sau:
Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và hiệu, ta có:
y' = 3x2 - 6x + 2
Áp dụng công thức đạo hàm của tích, ta có:
y' = (2x)(x - 2) + (x2 + 1)(1) = 2x2 - 4x + x2 + 1 = 3x2 - 4x + 1
Áp dụng công thức đạo hàm của thương, ta có:
y' = [(2x + 3)(x + 1) - (x2 + 3x + 1)(1)] / (x + 1)2 = (2x2 + 5x + 3 - x2 - 3x - 1) / (x + 1)2 = (x2 + 2x + 2) / (x + 1)2
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:
y' = cos(2x + 1) * 2 = 2cos(2x + 1)
Để giải các bài tập tương tự, học sinh cần nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và các quy tắc đạo hàm như đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm hợp. Ngoài ra, cần chú ý đến việc biến đổi biểu thức để đưa về dạng đơn giản nhất trước khi tính đạo hàm.
Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
Để củng cố kiến thức về đạo hàm, học sinh có thể tự giải các bài tập sau:
Bài 6 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm.
