Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Cấp số cộng trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo tại giaibaitoan.com. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức nền tảng, công thức quan trọng và các ví dụ minh họa để bạn hiểu rõ về cấp số cộng.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập hiệu quả và thú vị, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số cộng.
1. Cấp số cộng
1. Cấp số cộng
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d, nghĩa là:
\({u_n} = {u_{n - 1}} + d,n \ge 2\)
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
* Nhận xét: Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của 2 sô hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:
\({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\left( {k \ge 2} \right)\)
2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu là \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định theo công thức\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d,n \ge 2.\)
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)với công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó
\({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\)
Cấp số cộng là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán học lớp 11. Hiểu rõ về cấp số cộng không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho việc học các kiến thức nâng cao hơn trong tương lai.
Một dãy số được gọi là cấp số cộng nếu có một số không đổi d, gọi là công sai, sao cho với mọi n ≥ 1, ta có: un+1 = un + d.
Số u1 được gọi là số hạng đầu của cấp số cộng.
Số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức:
un = u1 + (n - 1)d
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính theo công thức:
Sn = (n/2)(u1 + un) = (n/2)[2u1 + (n - 1)d]
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 3. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.
Giải: Áp dụng công thức un = u1 + (n - 1)d, ta có:
u5 = 2 + (5 - 1)3 = 2 + 12 = 14
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 5 và tổng của 10 số hạng đầu tiên là S10 = 100. Tìm công sai d.
Giải: Áp dụng công thức Sn = (n/2)[2u1 + (n - 1)d], ta có:
100 = (10/2)[2(5) + (10 - 1)d]
100 = 5(10 + 9d)
20 = 10 + 9d
9d = 10
d = 10/9
Để nắm vững kiến thức về cấp số cộng, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như giaibaitoan.com.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Lý thuyết Cấp số cộng - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
