Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 4 trang 85 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Bài học này thuộc chương trình đại số lớp 11, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về phép biến hóa affine để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x - \sin x,g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \).
Đề bài
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x - \sin x,g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \).
Xét tính liên tục hàm số \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\) và \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét tính liên tục của các hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) sau đó áp dụng định lí về tính liên tục của tích, thương hai hàm số.
Lời giải chi tiết
• Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2x - \sin x\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
• Xét hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \)
ĐKXĐ: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)
Hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \) có tập xác định \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\).
Hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \) là hàm căn thức nên liên tục trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1} = \sqrt {1 - 1} = 0 = g\left( 1 \right)\)
Do đó hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
Vậy hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\).
• Xét hàm số \(y = f\left( x \right).g\left( x \right) = \left( {2x - \sin x} \right)\sqrt {x - 1} \)
Do hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) đều liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left[ {1; + \infty } \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\).
• Xét hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{2x - \sin x}}{{\sqrt {x - 1} }}\)
Do hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) đều liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left[ {1; + \infty } \right)\) nên hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Bài 4 trang 85 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về phép biến hóa affine để giải quyết một bài toán cụ thể. Để hiểu rõ hơn về cách tiếp cận và giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bước.
Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức cơ bản về phép biến hóa affine. Phép biến hóa affine là một phép biến đổi hình học bảo toàn tính thẳng hàng và tỷ lệ của các đoạn thẳng. Một phép biến hóa affine có thể được biểu diễn bằng một ma trận và một vector.
Đề bài thường yêu cầu xác định phép biến hóa affine dựa trên một số thông tin cho trước, chẳng hạn như ảnh của một số điểm hoặc đường thẳng. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần:
Giả sử đề bài cho: Phép biến hóa affine f biến điểm A(1; 2) thành A'(3; 4) và điểm B(0; 1) thành B'(2; 3). Hãy tìm ma trận A và vector b của phép biến hóa affine f.
Giải:
Theo định nghĩa của phép biến hóa affine, ta có:
Viết dưới dạng hệ phương trình, ta có:
| x | y | |
|---|---|---|
| a11 + b1 | = | 3 |
| a12 + b2 | = | 4 |
| b1 | = | 2 |
| b2 | = | 3 |
Giải hệ phương trình này, ta tìm được a11, a12, b1, b2. Từ đó xác định được ma trận A và vector b của phép biến hóa affine f.
Để nắm vững kiến thức về phép biến hóa affine và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, các em có thể thực hiện các bài tập sau:
Bài 4 trang 85 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về phép biến hóa affine và ứng dụng của nó trong thực tế. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
