Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11 tập 2. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải quyết các bài tập trong mục 6, trang 46 và 47 của sách giáo khoa Toán 11 tập 2, chương trình Chân trời sáng tạo.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự học Toán đôi khi gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giaibaitoan.com đã biên soạn lời giải chi tiết, kèm theo các bước giải thích rõ ràng, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hàm số (u = sin x) và hàm số (y = {u^2}).
Cho hàm số \(u = \sin x\) và hàm số \(y = {u^2}\).
a) Tính \(y\) theo \(x\).
b) Tính \(y{'_x}\) (đạo hàm của \(y\) theo biến \(x\)), \(y{'_u}\) (đạo hàm của \(y\) theo biến \(u\)) và \(u{'_x}\) (đạo hàm của \(u\) theo biến \(x\)) rồi so sánh \(y{'_x}\) với \(y{'_u}.u{'_x}\).
Phương pháp giải:
a) Thay \(u = \sin x\) vào \(y\).
b) Sử dụng công thức tính đạo hàm: \({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{{\rm{x}}^{n - 1}};{\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\).
Lời giải chi tiết:
a) \(y = {u^2} = {\left( {\sin x} \right)^2} = {\sin ^2}x\).
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}y{'_x} = {\left( {\sin x.\sin x} \right)^\prime } = {\left( {\sin x} \right)^\prime }.\sin x + \sin x.{\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x.\sin x + \sin x.\cos x = 2\sin x\cos x\\y{'_u} = {\left( {{u^2}} \right)^\prime } = 2u\\u{'_x} = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\\ \Rightarrow y{'_u}.u{'_x} = 2u.\cos x = 2\sin x\cos x\end{array}\)
Vậy \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\).
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {\left( {2{x^3} + 3} \right)^2}\);
b) \(y = \cos 3x\);
c) \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp: \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\).
Lời giải chi tiết:
a) Đặt \(u = 2{{\rm{x}}^3} + 3\) thì \(y = {u^2}\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3} \right)^\prime } = 6{{\rm{x}}^2}\) và \(y{'_u} = {\left( {{u^2}} \right)^\prime } = 2u\).
Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = 2u.6{{\rm{x}}^2} = 2\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3} \right).6{{\rm{x}}^2} = 12{{\rm{x}}^2}\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3} \right).\)
Vậy \(y' = 12{{\rm{x}}^2}\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3} \right)\).
b) Đặt \(u = 3{\rm{x}}\) thì \(y = \cos u\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {3{\rm{x}}} \right)^\prime } = 3\) và \(y{'_u} = {\left( {\cos u} \right)^\prime } = - \sin u\).
Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = - \sin u.3 = - 3\sin 3{\rm{x}}\).
Vậy \(y' = - 3\sin 3{\rm{x}}\).
c) Đặt \(u = {x^2} + 2\) thì \(y = {\log _2}u\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {{x^2} + 2} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}\) và \(y{'_u} = {\left( {{{\log }_2}u} \right)^\prime } = \frac{1}{{u\ln 2}}\).
Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = \frac{1}{{u\ln 2}}.2x = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\ln 2}}.2x = \frac{2x}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\ln 2}}.\)
Vậy \(y' = \frac{2x}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\ln 2}}.\)
Mục 6 trong SGK Toán 11 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số lượng giác. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh hiểu rõ hơn về sự biến thiên của các hàm số lượng giác và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào giải chi tiết từng bài tập trong mục 6, trang 46 và 47. Mỗi bài tập sẽ được phân tích kỹ lưỡng, kèm theo các bước giải thích rõ ràng và dễ hiểu.
Lời giải:
Lời giải:
Đầu tiên, ta tìm đạo hàm cấp nhất: y' = 2sin(x)cos(x) = sin(2x)
Sau đó, ta tìm đạo hàm cấp hai: y'' = cos(2x) * 2 = 2cos(2x)
Lời giải:
Ta có y' = 1 - sin(x). Để y' = 0, ta cần giải phương trình 1 - sin(x) = 0, tức là sin(x) = 1.
Phương trình sin(x) = 1 có nghiệm là x = π/2 + k2π, với k là số nguyên.
Đạo hàm của hàm số lượng giác có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác. Một số ứng dụng tiêu biểu bao gồm:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về cách giải các bài tập trong mục 6, trang 46 và 47 SGK Toán 11 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
