Bài 3 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về phép biến hình affine để giải quyết các bài toán thực tế.
giaibaitoan.com cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho hai hình vuông \(ABCD\) và \(ABEF\) ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo \(AC\) và \(BF\) lần lượt lấy các điểm \(M,N\) sao cho \(AM = BN\). Các đường thẳng song song với \(AB\) vẽ từ \(M,N\) lần lượt cắt \(AD,AF\) tại \(M',N'\).
Đề bài
Cho hai hình vuông \(ABCD\) và \(ABEF\) ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo \(AC\) và \(BF\) lần lượt lấy các điểm \(M,N\) sao cho \(AM = BN\). Các đường thẳng song song với \(AB\) vẽ từ \(M,N\) lần lượt cắt \(AD,AF\) tại \(M',N'\).
a) Chứng minh \(\left( {CBE} \right)\parallel \left( {ADF} \right)\).
b) Chứng minh \(\left( {DEF} \right)\parallel \left( {MNN'M'} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng định lí Thalès trong tam giác.
‒ Sử dụng định lí 1: Nếu mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng \(a,b\) cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì \(\left( P \right)\) song song với \(\left( Q \right)\).
Lời giải chi tiết
a) \(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông \( \Rightarrow AD\parallel BC\)
Mà \(A{\rm{D}} \subset \left( {ADF} \right)\)
\( \Rightarrow BC\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)\)
\(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông \( \Rightarrow AF\parallel BE\)
Mà \(A{\rm{F}} \subset \left( {ADF} \right)\)
\( \Rightarrow BE\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)\)
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}BC\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)\\BE\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)\\BC,BE \subset \left( {CBE} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {CBE} \right)\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)\)
b) Do \(ABCD\) và \(ABEF\) là hai hình vuông có chung cạnh \(AB\) nên các đường chéo \(AC,BF\) bằng nhau.
Theo đề bài ta có: \(AM = BN\)
\( \Rightarrow \)\(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}}\)
Ta có:
\(MM'\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AM'}}{{A{\rm{D}}}}\)
\(NN'\parallel AB \Rightarrow \frac{{BN}}{{BF}} = \frac{{AN'}}{{AF}}\)
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AM'}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{AN'}}{{AF}} \Rightarrow M'N'\parallel DF\\M'N' \subset \left( {MNN'M'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow DF\parallel \left( {MNN'M'} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}NN'\parallel EF\\{\rm{NN}}' \subset \left( {MNN'M'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow EF\parallel \left( {MNN'M'} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}DF\parallel \left( {MNN'M'} \right)\\EF\parallel \left( {MNN'M'} \right)\\C{\rm{D}},DF \subset \left( {DEF} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {DEF} \right)\parallel \left( {MNN'M'} \right)\)
Bài 3 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về phép biến hình affine để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học phẳng. Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về bài tập này, giaibaitoan.com xin trình bày lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập như sau:
Bài 3 yêu cầu học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:
Bước 1: Xác định phép quay tâm O góc 90°
Phép quay tâm O góc 90° có dạng:
x' = x cos(90°) - y sin(90°)
y' = x sin(90°) + y cos(90°)
Vì cos(90°) = 0 và sin(90°) = 1, nên:
x' = -y
y' = x
Bước 2: Xác định phép biến hình affine f
Phép biến hình affine f biến A thành A', B thành B', C thành C', D thành D' có thể được biểu diễn dưới dạng:
f(x;y) = (ax + by + c; dx + ey + f)
Để xác định các hệ số a, b, c, d, e, f, ta sử dụng các điểm A, B, A', B'. Giả sử A(xA; yA), B(xB; yB), A'(xA'; yA'), B'(xB'; yB'). Ta có hệ phương trình:
axA + byA + c = xA'
dxA + eyA + f = yA'
axB + byB + c = xB'
dxB + eyB + f = yB'
Giải hệ phương trình này, ta tìm được các hệ số a, b, c, d, e, f.
Bước 3: Tìm ảnh của điểm M(1;2) qua phép biến hình f
Sau khi xác định được phép biến hình f, ta áp dụng phép biến hình này lên điểm M(1;2) để tìm ảnh M'(x'; y'):
x' = a(1) + b(2) + c
y' = d(1) + e(2) + f
Vậy M'(x'; y') là ảnh của điểm M(1;2) qua phép biến hình f.
Trong quá trình giải bài tập, cần chú ý các điểm sau:
Bài tập này giúp học sinh:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 3 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo và tự tin làm bài tập. giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục kiến thức Toán học.
