Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về giới hạn của hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Tính các giá trị lượng giác của góc 2(alpha ), biết:
Đề bài
Tính các giá trị lượng giác của góc 2\(\alpha \), biết:
a, \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3},0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\)
b, \(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{3}{4},\pi < \alpha < 2\pi \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức:
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
\(\begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\\\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\end{array}\)
Lời giải chi tiết
a, Ta có:
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\ \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{3}\end{array}\)
Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .cos\alpha = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 6 }}{3} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\cos2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 2.{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)^2} - 1 = \frac{1}{3}\\\tan 2\alpha = \frac{{\sin 2\alpha }}{{cos2\alpha }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{\frac{1}{3}}} = 2\sqrt 2 \\\cot 2\alpha = \frac{1}{{\tan 2\alpha }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\end{array}\)
b,
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\\ \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 7 }}{4}\end{array}\)
Vì \(\pi < \alpha < 2\pi \Rightarrow \frac{\pi }{2} < \frac{\alpha }{2} < \pi \Rightarrow cos\alpha = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha }{2}.cos\frac{\alpha }{2} = 2.\frac{3}{4}.\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right) = - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\\cos\alpha = 2{\cos ^2}\frac{\alpha }{2} - 1 = 2.{\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right)^2} - 1 = - \frac{1}{8}\\\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .cos\alpha = 2.\left( { - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}} \right).\left( { - \frac{1}{8}} \right) = \frac{{3\sqrt 7 }}{{32}}\\cos2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 2.{\left( { - \frac{1}{8}} \right)^2} - 1 = - \frac{{31}}{{32}}\\\tan 2\alpha = \frac{{\sin 2\alpha }}{{cos2\alpha }} = \frac{{\frac{{3\sqrt 7 }}{{32}}}}{{ - \frac{{31}}{{32}}}} = - \frac{{3\sqrt 7 }}{{31}}\\\cot 2\alpha = \frac{1}{{\tan 2\alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{{3\sqrt 7 }}{{31}}}} = - \frac{{31\sqrt 7 }}{{21}}\end{array}\)
Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để xét tính liên tục của hàm số tại một điểm. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững định nghĩa về giới hạn, các tính chất của giới hạn và điều kiện để một hàm số liên tục tại một điểm.
Bài tập thường yêu cầu học sinh:
Để giải bài tập này, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
Bài tập: Xét hàm số f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1). Hàm số f(x) có liên tục tại x = 1 hay không?
Giải:
Ta có: lim (x→1) f(x) = lim (x→1) (x^2 - 1) / (x - 1) = lim (x→1) (x + 1) = 2.
Tuy nhiên, f(1) không xác định vì mẫu số bằng 0. Do đó, hàm số f(x) không liên tục tại x = 1.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm giới hạn và tính liên tục của hàm số. Việc nắm vững kiến thức này sẽ là nền tảng vững chắc cho việc học các chương trình Toán học nâng cao hơn.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các bạn học sinh sẽ tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
