Bài 15 trang 35 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc ôn tập chương 3: Hàm số lượng giác. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các hàm số lượng giác cơ bản, tính chất của chúng và các phương pháp giải phương trình lượng giác.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 15 trang 35 SGK Toán 11 tập 2, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Giải các phương trình sau:
Đề bài
Giải các phương trình sau:
a) \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{x - 2}} = \sqrt 8 \);
b) \({9^{2x - 1}} = {81.27^x}\);
c) \(2{\log _5}\left( {x - 2} \right) = {\log _5}9\);
d) \({\log _2}\left( {3{\rm{x}} + 1} \right) = 2 - {\log _2}\left( {x - 1} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đưa 2 vế của phương trình về cùng cơ số.
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{x - 2}} = \sqrt 8 \Leftrightarrow {\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \right)^{x - 2}} = {\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{ - 3}}} \right)^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x - 4}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{3}{2}}}\\ \Leftrightarrow 2x - 4 = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2{\rm{x}} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow {\rm{x}} = \frac{5}{4}\end{array}\)
b) \({9^{2x - 1}} = {81.27^x} \Leftrightarrow {\left( {{3^2}} \right)^{2x - 1}} = {3^4}.{\left( {{3^3}} \right)^x} \Leftrightarrow {3^{4{\rm{x}} - 2}} = {3^{4 + 3{\rm{x}}}} \Leftrightarrow 4{\rm{x}} - 2 = 4 + 3{\rm{x}} \Leftrightarrow x = 6\).
c) \(2{\log _5}\left( {x - 2} \right) = {\log _5}9\)
ĐKXĐ: \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\)
\(PT \Leftrightarrow {\log _5}{\left( {x - 2} \right)^2} = {\log _5}{3^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = {3^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 3\\x - 2 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5 (TMĐK) \\x = - 1 (Loại) \end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\).
d) \({\log _2}\left( {3{\rm{x}} + 1} \right) = 2 - {\log _2}\left( {x - 1} \right)\).
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}3{\rm{x}} + 1 > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{1}{3}\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\)
\(\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3{\rm{x}} + 1} \right) + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = {\log _2}{2^2}\\ \Leftrightarrow \left( {3{\rm{x}} + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 4 \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} + x - 3{\rm{x}} - 1 = 4 \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 (Loại) \\x = \frac{5}{3} (TMĐK)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{5}{3}\).
Bài 15 trang 35 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số lượng giác và phương pháp giải phương trình lượng giác. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Bài 15 yêu cầu học sinh giải các phương trình lượng giác sau:
Phương trình sin(x) = 1/2 có nghiệm là:
Trong đó, k là số nguyên.
Phương trình cos(x) = -√3/2 có nghiệm là:
Trong đó, k là số nguyên.
Phương trình tan(x) = 1 có nghiệm là:
Trong đó, k là số nguyên.
Phương trình cot(x) = 0 có nghiệm là:
Trong đó, k là số nguyên.
Để giải các phương trình lượng giác khác, bạn có thể áp dụng các bước sau:
Giải phương trình sin(2x) = √2/2
Ta có:
Suy ra:
Trong đó, k là số nguyên.
Khi giải phương trình lượng giác, cần chú ý đến điều kiện xác định của hàm số lượng giác. Ví dụ, hàm tan(x) và cot(x) không xác định khi cos(x) = 0 và sin(x) = 0, tương ứng.
Ngoài ra, cần kiểm tra lại nghiệm để đảm bảo rằng nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện của phương trình và không bị trùng lặp.
Bài 15 trang 35 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập tương tự trên đây, các bạn học sinh sẽ nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập về hàm số lượng giác.
Việc hiểu rõ các công thức lượng giác và áp dụng chúng một cách linh hoạt là chìa khóa để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số lượng giác. Hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải toán của bạn.
