Bài 3 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về hàm số và đồ thị để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản và kỹ năng vẽ đồ thị hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 3 trang 19, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:
Đề bài
Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:
a) \(\sin \alpha = \frac{5}{{13}}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)
b) \(\cos \alpha = \frac{2}{5}\) và \(0 < \alpha < 90^\circ \)
c) \(\tan \alpha = \sqrt 3 \) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\)
d) \(\cot \alpha = -\frac{1}{2}\) và \(270^\circ < \alpha < 360^\circ \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào hệ thức cơ bản của hàm lượng giác để tính
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\left( {\frac{5}{{13}}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{12}}{{13}}\)
Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \cos \alpha = \frac{-{12}}{{13}}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{-5}{{12}}\\\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{-{12}}{5}\end{array} \right.\)
b) Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} + {\sin ^2}\alpha = 1 \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{\sqrt {21} }}{5}\)
Do \(0 < \alpha < 90^\circ \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{\sqrt {21} }}{5}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\sqrt {21} }}{2}\\\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{2\sqrt {21} }}{{21}}\end{array} \right.\)
c) Ta có: \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{2}\)
Do \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{-1}{2}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cot \alpha .\tan \alpha = 1\\\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cot \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\sin \alpha = \frac{{-\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)
d) Ta có: \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {\left( -{\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
Do \(270^\circ < \alpha < 360^\circ \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{-2\sqrt 5 }}{5}.\)
Ta có: \(\cot \alpha = -\frac{1}{2} \Rightarrow \tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = -2\)
Lại có:
\(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Leftrightarrow 1 + 4 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
Do \({270^o} < \alpha < {360^o} \Rightarrow \cos \alpha > 0 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
Bài 3 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số bậc hai và ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Bài 3 yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = -2x2 + 8x - 5 và thực hiện các yêu cầu sau:
1. Xác định hệ số a, b, c:
Hàm số f(x) = -2x2 + 8x - 5 có:
2. Xác định tọa độ đỉnh của parabol:
Tọa độ đỉnh của parabol có dạng I(x0; y0), với:
Vậy tọa độ đỉnh của parabol là I(2; 3).
3. Xác định trục đối xứng của parabol:
Trục đối xứng của parabol là đường thẳng x = x0 = x = 2.
4. Vẽ đồ thị của hàm số:
Để vẽ đồ thị của hàm số, ta cần xác định một số điểm thuộc đồ thị. Ngoài đỉnh I(2; 3), ta có thể chọn thêm một vài điểm khác, ví dụ:
Vẽ parabol đi qua các điểm I(2; 3), A(0; -5), B(4; -5) và có trục đối xứng là x = 2.
5. Tìm tập giá trị của hàm số:
Vì a = -2 < 0, parabol có dạng mở xuống. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là y0 = 3. Tập giá trị của hàm số là (-∞; 3].
Khi giải bài tập về hàm số bậc hai, cần lưu ý các điểm sau:
Bài tập về hàm số bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Hy vọng lời giải chi tiết và hướng dẫn giải Bài 3 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về hàm số bậc hai và tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
