Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 1 trang 57, 58 SGK Toán 11 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu cùng với phương pháp giải bài tập một cách khoa học, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Bài tập này thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào các kiến thức cơ bản về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân.
a) Tính thương của hai số hạng liên tiếp trong dãy số: \(2;4;8;16;32;64\).
a) Tính thương của hai số hạng liên tiếp trong dãy số: \(2;4;8;16;32;64\).
b) Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau:
i) \(3;6;12;24;48\).
ii) \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}}\).
iii) \(2; - 6;18; - 54;162; - 486\).
Phương pháp giải:
Xem hai số hạng liên tiếp của dãy có liên hệ gì.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\frac{4}{2} = 2;\frac{8}{4} = 2;\frac{{16}}{8} = 2;\frac{{32}}{{16}} = 2;\frac{{64}}{{32}} = 2\).
b) Ta thấy:
i) Số sau bằng số liền trước nhân với 2.
ii) Số sau bằng số liền trước nhân với \(\frac{1}{2}\).
ii) Số sau bằng số liền trước nhân với \( - 3\).
Điểm giống nhau của các dãy số này là số sau bằng số liền trước nhân với một số không đổi.
Cho ba số tự nhiên \(m,n,p\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh ba số \({2^m},{2^n},{2^p}\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Phương pháp giải:
Chứng minh \({\left( {{2^n}} \right)^2} = {2^m}{.2^p}\).
Lời giải chi tiết:
Ba số tự nhiên \(m,n,p\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có: \(2n = m + p\).
Ta có: \(2n = m + p \Leftrightarrow {2^{2n}} = {2^{m + p}} \Leftrightarrow {\left( {{2^n}} \right)^2} = {2^m}{.2^p}\).
Vậy ba số \({2^m},{2^n},{2^p}\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Một quốc gia có dân số năm 2011 là \(P\) triệu người. Trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm dân số tăng \(a\% \). Chứng minh rằng dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạo thành cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân này.
Phương pháp giải:
Biến đổi, đưa \({u_{n + 1}} = {u_n}.q\), khi đó dãy số là cấp số nhân có công bội \(q\).
Lời giải chi tiết:
Giả sử dân số của quốc gia đó từ năm 2011 đến năm 2021 là dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = P\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} = P\\{u_2} = {u_1} + {u_1}.\frac{a}{{100}} = {u_1}.\left( {1 + \frac{a}{{100}}} \right)\\{u_3} = {u_2} + {u_2}.\frac{a}{{100}} = {u_2}\left( {1 + \frac{a}{{100}}} \right)\\{u_4} = {u_3} + {u_3}.\frac{a}{{100}} = {u_3}\left( {1 + \frac{a}{{100}}} \right)\\ \vdots \\{u_{11}} = {u_{10}} + {u_{10}}.\frac{a}{{100}} = {u_{10}}\left( {1 + \frac{a}{{100}}} \right)\end{array}\)
Vậy dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạo thành cấp số nhân với công bội \(q = 1 + \frac{a}{{100}}\).
Tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ tạo thành cấp số nhân. Biết tần số của hai phim Sol và Si lần lượt là 415 Hz và 466 Hz (theo: https://vi.wikipedia.org/wiki/Đô_(nốt nhạc)). Tính tần số của phím La (làm tròn đến hàng đơn vị).
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất của cấp số nhân: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \(u_n^2 = {u_{n - 1}}.{u_{n + 1}}\) với \(n \ge 2\).
Lời giải chi tiết:
Giả sử tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ lần lượt là \({u_1};{u_2};{u_3}\) (Hz) \(\left( {{u_1};{u_2};{u_3} > 0} \right)\).
Theo đề bài ta có: \({u_1} = 415;{u_3} = 466\)
Tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ tạo thành cấp số nhân nên ta có: \(u_2^2 = {u_1}.{u_3} = 415.466 = 193390 \Leftrightarrow {u_2} = \sqrt {193390} \approx 440\) (Hz).
Vậy tần số của phím La là 440 Hz.
Mục 1 trang 57, 58 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh vận dụng các công thức, định lý đã học để giải quyết các bài toán thực tế. Để giải quyết hiệu quả các bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản, hiểu rõ cấu trúc của dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân, đồng thời rèn luyện kỹ năng tính toán và tư duy logic.
Mục 1 bao gồm một số bài tập với các mức độ khó khác nhau, từ dễ đến khó. Các bài tập thường yêu cầu:
Bài 1 thường yêu cầu học sinh xác định xem một dãy số cho trước có phải là cấp số cộng, cấp số nhân hay không. Để làm được bài này, học sinh cần kiểm tra xem hiệu của hai số hạng liên tiếp có là một hằng số hay không (đối với cấp số cộng) hoặc thương của hai số hạng liên tiếp có là một hằng số hay không (đối với cấp số nhân).
Bài 2 yêu cầu học sinh tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng hoặc cấp số nhân. Để tìm số hạng tổng quát, học sinh cần xác định số hạng đầu tiên (u1) và công sai (d) hoặc công bội (q) của cấp số. Sau đó, học sinh có thể sử dụng công thức để tính số hạng tổng quát.
Bài 3 yêu cầu học sinh tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng hoặc cấp số nhân. Để tính tổng, học sinh cần sử dụng công thức tính tổng của cấp số cộng hoặc cấp số nhân. Công thức tính tổng của cấp số cộng là Sn = n/2 * (2u1 + (n-1)d), trong đó u1 là số hạng đầu tiên, d là công sai và n là số số hạng. Công thức tính tổng của cấp số nhân là Sn = u1 * (1 - q^n) / (1 - q), trong đó u1 là số hạng đầu tiên, q là công bội và n là số số hạng.
Bài 4 thường là các bài toán ứng dụng liên quan đến dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Để giải quyết các bài toán này, học sinh cần phân tích đề bài, xác định các yếu tố liên quan đến dãy số, cấp số cộng hoặc cấp số nhân, và sau đó áp dụng các công thức, định lý đã học để giải quyết bài toán.
Để giải bài tập mục 1 trang 57, 58 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo một cách hiệu quả, học sinh nên:
Giải mục 1 trang 57, 58 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo là một bước quan trọng trong quá trình học tập môn Toán 11. Bằng cách nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng và áp dụng các phương pháp giải bài tập hiệu quả, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán và đạt kết quả tốt trong môn học.
