Bài 4 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về cấp số cộng và cấp số nhân để giải các bài toán thực tế. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các công thức và phương pháp giải liên quan.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 4 trang 120, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \({G_1}\) và \({G_2}\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(BDA'\) và \(B'D'C\). Chứng minh \({G_1}\) và \({G_2}\) chia đoạn \(AC\) thành ba phần bằng nhau.
Đề bài
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \({G_1}\) và \({G_2}\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(BDA'\) và \(B'D'C\). Chứng minh \({G_1}\) và \({G_2}\) chia đoạn \(AC\) thành ba phần bằng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng tính chất hình hộp.
‒ Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác.
Lời giải chi tiết
Gọi \(O = AC \cap B{\rm{D}},O' = A'C' \cap B'{\rm{D}}',I = AC' \cap A'C\)
Vì \(AA'\parallel CC',AA' = CC'\) theo tính chất hình hộp nên \(AA'C'C\) là hình bình hành \( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AC'\) và \(A'C\).
Ta có: \({G_1}\) là trọng tâm của tam giác \(BDA' \Rightarrow \frac{{A'{G_1}}}{{A'O}} = \frac{2}{3}\)
Tam giác \(AA'C\) có \(\frac{{A'{G_1}}}{{A'O}} = \frac{2}{3}\) nên \({G_1}\) là trọng tâm của tam giác \(AA'C\)
Mà \(I\) là trung điểm của \(A'C\) nên \(\frac{{A{G_1}}}{{AI}} = \frac{2}{3} \Rightarrow A{G_1} = \frac{2}{3}AI\)
Mà \(AI = \frac{1}{2}AC'\)
\( \Rightarrow A{G_1} = \frac{1}{3}AC'\left( 1 \right)\)
Ta có: \({G_2}\) là trọng tâm của tam giác \(B'D'C \Rightarrow \frac{{C{G_2}}}{{CO'}} = \frac{2}{3}\)
Tam giác \(ACC'\) có \(\frac{{C{G_2}}}{{CO'}} = \frac{2}{3}\) nên \({G_2}\) là trọng tâm của tam giác \(ACC'\)
Mà \(I\) là trung điểm của \(AC'\) nên \(\frac{{C'{G_2}}}{{C'I}} = \frac{2}{3} \Rightarrow C'{G_2} = \frac{2}{3}C'I\)
Mà \(C'I = \frac{1}{2}AC'\)
\( \Rightarrow C'{G_2} = \frac{1}{3}AC'\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \({G_1}\) và \({G_2}\) chia đoạn \(AC\) thành ba phần bằng nhau.
Bài 4 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về cấp số cộng và cấp số nhân. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Bài tập yêu cầu tìm số hạng tổng quát của dãy số và tính tổng của một số hạng đầu tiên của dãy số đó. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các công thức sau:
a) Dãy số (un) với u1 = 3 và d = 2:
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng, ta có:
un = 3 + (n-1) * 2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1
Vậy, số hạng tổng quát của dãy số là un = 2n + 1.
b) Dãy số (vn) với v1 = 2 và q = 3:
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân, ta có:
vn = 2 * 3(n-1)
Vậy, số hạng tổng quát của dãy số là vn = 2 * 3(n-1).
c) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của mỗi dãy:
Dãy (un):
S10 = 10/2 * [2 * 3 + (10-1) * 2] = 5 * (6 + 18) = 5 * 24 = 120
Vậy, tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy (un) là 120.
Dãy (vn):
S10 = 2 * (1 - 310) / (1 - 3) = 2 * (1 - 59049) / (-2) = 2 * (-59048) / (-2) = 59048
Vậy, tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy (vn) là 59048.
Khi giải các bài tập về cấp số cộng và cấp số nhân, học sinh cần:
Để củng cố kiến thức về cấp số cộng và cấp số nhân, học sinh có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo và các tài liệu tham khảo khác.
Ví dụ:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 4 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo và tự tin giải các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!
