Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 2 trong chương VII của sách Toán 11 tập 2, Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc trang bị cho học sinh những công cụ cơ bản để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp hơn. Đạo hàm là một khái niệm then chốt trong giải tích, và việc nắm vững các quy tắc tính đạo hàm là nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán thực tế.

I. Khái niệm cơ bản về đạo hàm

Trước khi đi vào các quy tắc, chúng ta cần ôn lại khái niệm đạo hàm. Đạo hàm của một hàm số f(x) tại một điểm x₀, ký hiệu là f'(x₀), biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó. Về mặt hình học, đạo hàm là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm x₀.

II. Các quy tắc tính đạo hàm

1. Quy tắc đạo hàm của một hằng số

Nếu c là một hằng số, thì đạo hàm của c bằng 0. Điều này có nghĩa là một hàm số hằng không thay đổi, do đó tốc độ thay đổi của nó bằng 0.

Công thức: (c)' = 0

2. Quy tắc đạo hàm của một lũy thừa

Nếu f(x) = xⁿ, với n là một số thực, thì đạo hàm của f(x) là f'(x) = n * x^n-1. Đây là một trong những quy tắc quan trọng nhất và được sử dụng rất nhiều trong việc tính đạo hàm.

Công thức: (xⁿ)' = n * x^n-1

3. Quy tắc đạo hàm của một tổng hoặc hiệu

Đạo hàm của một tổng (hoặc hiệu) của các hàm số bằng tổng (hoặc hiệu) của các đạo hàm của từng hàm số.

Công thức: (u + v)' = u' + v' và (u - v)' = u' - v'

4. Quy tắc đạo hàm của một tích

Đạo hàm của tích hai hàm số u(x) và v(x) được tính theo công thức:

Công thức: (u * v)' = u' * v + u * v'

5. Quy tắc đạo hàm của một thương

Đạo hàm của thương hai hàm số u(x) và v(x) được tính theo công thức:

Công thức: (u / v)' = (u' * v - u * v') / v²

6. Quy tắc đạo hàm của hàm hợp

Nếu y = f(u) và u = g(x), thì đạo hàm của y theo x được tính theo công thức:

Công thức: dy/dx = (dy/du) * (du/dx)

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x - 5

Giải:

f'(x) = (3x²)' + (2x)' - (5)'
f'(x) = 3 * (x²)' + 2 * (x)' - 0
f'(x) = 3 * 2x + 2 * 1
f'(x) = 6x + 2

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = (x² + 1) / (x - 1)

Giải:

Đặt u(x) = x² + 1 và v(x) = x - 1

u'(x) = 2x và v'(x) = 1

f'(x) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))²

f'(x) = (2x * (x - 1) - (x² + 1) * 1) / (x - 1)²

f'(x) = (2x² - 2x - x² - 1) / (x - 1)²

f'(x) = (x² - 2x - 1) / (x - 1)²

IV. Bài tập luyện tập

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 4x³ - 5x² + x + 2
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = (2x + 1) * (x² - 3)
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sin(x)

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về các quy tắc tính đạo hàm. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán đạo hàm.