Bài 2 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và kỹ năng giải toán.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 2 trang 49, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Đề bài
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \sin 3x\);
b) \(y = {\cos ^3}2x\);
c) \(y = {\tan ^2}x\);
d) \(y = \cot \left( {4 - {x^2}} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp: \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\).
Lời giải chi tiết
a) Đặt \(u = 3{\rm{x}}\) thì \(y = \sin u\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {3{\rm{x}}} \right)^\prime } = 3\) và \(y{'_u} = {\left( {\sin u} \right)^\prime } = \cos u\).
Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = \cos u.3 = 3\cos 3{\rm{x}}\).
Vậy \(y' = 3\cos 3{\rm{x}}\).
b) Đặt \(u = \cos 2{\rm{x}}\) thì \(y = {u^3}\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {\cos 2{\rm{x}}} \right)^\prime } = - 2\sin 2{\rm{x}}\) và \(y{'_u} = {\left( {{u^3}} \right)^\prime } = 3{u^2}\).
Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = 3{u^2}.\left( { - 2\sin 2{\rm{x}}} \right) = 3{\left( {\cos 2{\rm{x}}} \right)^2}.\left( { - 2\sin 2{\rm{x}}} \right) = - 6\sin 2{\rm{x}}{\cos ^2}2{\rm{x}}\).
Vậy \(y' = - 6\sin 2{\rm{x}}{\cos ^2}2{\rm{x}}\).
c) Đặt \(u = \tan {\rm{x}}\) thì \(y = {u^2}\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {\tan {\rm{x}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) và \(y{'_u} = {\left( {{u^2}} \right)^\prime } = 2u\).
Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = 2u.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 2\tan x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)\).
Vậy \(y' = 2\tan x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)\).
d) Đặt \(u = 4 - {x^2}\) thì \(y = \cot u\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {4 - {x^2}} \right)^\prime } = - 2{\rm{x}}\) và \(y{'_u} = {\left( {\cot u} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\sin }^2}u}}\).
Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = - \frac{1}{{{{\sin }^2}u}}.\left( { - 2{\rm{x}}} \right) = \frac{{2{\rm{x}}}}{{{{\sin }^2}\left( {4 - {x^2}} \right)}}\).
Vậy \(y' = \frac{{2{\rm{x}}}}{{{{\sin }^2}\left( {4 - {x^2}} \right)}}\).
Bài 2 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của nó. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức liên quan.
Bài 2 yêu cầu chúng ta tìm đạo hàm của các hàm số sau:
Để tìm f'(x), chúng ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng và tích của các hàm số. Cụ thể:
f'(x) = d/dx (3x^2) - d/dx (5x) + d/dx (2)
Áp dụng quy tắc đạo hàm của lũy thừa, ta có:
f'(x) = 3 * 2x - 5 + 0 = 6x - 5
Tương tự, để tìm g'(x), chúng ta áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng và lũy thừa:
g'(x) = d/dx (x^3) + d/dx (4x) - d/dx (1)
g'(x) = 3x^2 + 4 - 0 = 3x^2 + 4
Để tìm h'(x), chúng ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tích:
h'(x) = d/dx [(x^2 + 1)(x - 2)] = (x^2 + 1)'(x - 2) + (x^2 + 1)(x - 2)'
Tính các đạo hàm riêng:
(x^2 + 1)' = 2x
(x - 2)' = 1
Thay vào công thức, ta có:
h'(x) = 2x(x - 2) + (x^2 + 1)(1) = 2x^2 - 4x + x^2 + 1 = 3x^2 - 4x + 1
Vậy, chúng ta đã tìm được đạo hàm của các hàm số:
Để hiểu sâu hơn về đạo hàm, các em có thể tìm hiểu thêm về các quy tắc đạo hàm khác như quy tắc chuỗi, quy tắc chia, và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số, vẽ đồ thị hàm số, và giải các bài toán tối ưu.
Ngoài ra, các em cũng nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác để rèn luyện kỹ năng giải toán và nắm vững kiến thức. Giaibaitoan.com cung cấp đầy đủ các bài giải chi tiết và hướng dẫn giải các bài tập trong SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo, giúp các em học tập hiệu quả.
Đạo hàm có nhiều ứng dụng trong thực tế. Ví dụ, trong vật lý, đạo hàm của quãng đường theo thời gian là vận tốc, và đạo hàm của vận tốc theo thời gian là gia tốc. Trong kinh tế, đạo hàm có thể được sử dụng để tính chi phí biên và doanh thu biên.
Việc hiểu rõ về đạo hàm và ứng dụng của nó là rất quan trọng đối với học sinh lớp 11, vì nó là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn trong tương lai.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 2 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo và tự tin giải các bài tập tương tự.
