Lý thuyết Khoảng cách trong không gian - Toán 11 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Khoảng cách trong không gian - Toán 11 Chân trời sáng tạo

Trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo, phần Hình học không gian đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy không gian và khả năng giải quyết vấn đề. Một trong những nội dung cốt lõi của phần này là Lý thuyết Khoảng cách trong không gian. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về lý thuyết này, bao gồm các khái niệm, công thức và phương pháp giải bài tập.

1. Khái niệm cơ bản về Khoảng cách trong không gian

Trong không gian ba chiều, khoảng cách giữa hai điểm là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm đó. Để tính khoảng cách giữa hai điểm A(x₁, y₁, z₁) và B(x₂, y₂, z₂), ta sử dụng công thức:

AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Để tính khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến đường thẳng Δ có phương trình tham số:

{ x = x₁ + aty = y₁ + btz = z₁ + ct }

Ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm một điểm A thuộc Δ (chọn t = 0).
2. Tính vector AM = (x₀ - x₁, y₀ - y₁, z₀ - z₁).
3. Tính vector chỉ phương của Δ: a = (a, b, c).
4. Tính tích có hướng của AM và a: [AM, a].
5. Khoảng cách d = ||[AM, a]|| / ||a||

3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Để tính khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng (P) có phương trình:

Ax + By + Cz + D = 0

Ta sử dụng công thức:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

4. Các ứng dụng của Lý thuyết Khoảng cách trong không gian

Lý thuyết Khoảng cách trong không gian có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian, chẳng hạn như:

• Xác định vị trí tương đối giữa các điểm, đường thẳng và mặt phẳng.
• Tính thể tích của các hình đa diện.
• Tìm quỹ tích của một điểm thỏa mãn một điều kiện nào đó.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6).

Giải:

AB = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²) = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm M(0, 0, 0) đến đường thẳng Δ: x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t.

Giải:

Chọn A(1, 2, 3) thuộc Δ (t = 0). AM = (1, 2, 3). a = (1, 1, 1). [AM, a] = (1, -2, 1). ||[AM, a]|| = √6. ||a|| = √3. d = √6 / √3 = √2

6. Lưu ý khi giải bài tập về Khoảng cách trong không gian

• Nắm vững các công thức tính khoảng cách.
• Chú ý đến việc xác định đúng các điểm, đường thẳng và mặt phẳng.
• Sử dụng vector một cách linh hoạt để đơn giản hóa bài toán.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Lý thuyết Khoảng cách trong không gian - Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!