Bài 2 trang 73 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để tính đạo hàm của hàm số và giải các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 2 trang 73 SGK Toán 11 tập 2, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho tam giác đều (ABC) cạnh (a), (I) là trung điểm của (BC), (D) là điểm đối xứng với (A) qua (I).
Đề bài
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\), \(I\) là trung điểm của \(BC\), \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(I\). Vẽ đoạn thẳng \(S{\rm{D}}\) có độ dài bằng \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) và vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\). Chứng minh rằng:
a) \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAD} \right)\);
b) \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
a) \(ABDC\) là hình thoi \( \Rightarrow A{\rm{D}} \bot BC\)
\(S{\rm{D}} \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow S{\rm{D}} \bot BC\)
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\)
b) Kẻ \(IJ \bot SA\left( {J \in SA} \right)\).
\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A{\rm{D}} = 2AI = a\sqrt 3 \)
\(\Delta SAD\) vuông tại \(D\) \( \Rightarrow S{\rm{A}} = \sqrt {S{D^2} + A{{\rm{D}}^2}} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\)
Xét \(\Delta SAD\) và \(\Delta IAJ\)có:
\(\begin{array}{l}\widehat {SDA} = \widehat {IJA} = {90^0}\\\widehat A\,\,chung\end{array}\)
Suy ra \(\Delta SAD\,\infty \,\Delta IAJ\,(g.g) \Rightarrow \frac{{JI}}{{SD}} = \frac{{AI}}{{SA}} \Rightarrow JI = \frac{{SD.AI}}{{SA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{a}{2}\)
Nên \(JI = \frac{{BC}}{2}\)
Tam giác \(BCJ\) có \(IJ\) là trung tuyến và \(IJ = \frac{1}{2}BC\)
Vậy tam giác \(BCJ\) vuông tại \(J \Rightarrow BJ \bot JC\)
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}BC \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right) \Rightarrow BC \bot SA\\IJ \bot SA\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot \left( {BCJ} \right)\\\left. \begin{array}{l} \Rightarrow SA \bot BJ\\BJ \bot JC\end{array} \right\} \Rightarrow BJ \bot \left( {SAC} \right)\end{array}\)
Mà \(BJ \subset \left( {SAB} \right)\)
Vậy \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
Bài 2 trang 73 SGK Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các công thức và quy tắc tính đạo hàm đã học trong chương trình.
Bài 2 yêu cầu học sinh tính đạo hàm của các hàm số sau:
Để giải bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng các quy tắc tính đạo hàm sau:
a) f(x) = x3 - 3x2 + 2x - 5
Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tổng, ta có:
f'(x) = (x3)' - 3(x2)' + 2(x)' - (5)'
f'(x) = 3x2 - 6x + 2 - 0
f'(x) = 3x2 - 6x + 2
b) g(x) = (x2 + 1)(x - 2)
Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tích, ta có:
g'(x) = (x2 + 1)'(x - 2) + (x2 + 1)(x - 2)'
g'(x) = (2x)(x - 2) + (x2 + 1)(1)
g'(x) = 2x2 - 4x + x2 + 1
g'(x) = 3x2 - 4x + 1
c) h(x) = sin(2x) + cos(x)
Áp dụng quy tắc đạo hàm của một hàm hợp và quy tắc đạo hàm của một tổng, ta có:
h'(x) = (sin(2x))' + (cos(x))'
h'(x) = cos(2x) * (2x)' - sin(x)
h'(x) = 2cos(2x) - sin(x)
Vậy, lời giải chi tiết cho Bài 2 trang 73 SGK Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo như sau:
Để hiểu sâu hơn về đạo hàm, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Khi giải bài tập về đạo hàm, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải Bài 2 trang 73 SGK Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo và các bài tập tương tự.
