Bài 3 trang 64 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hình. Bài tập này đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về các phép biến hình cơ bản như phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 3 trang 64 SGK Toán 11 tập 2, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình vuông cạnh bằng (asqrt 2 ), có các cạnh bên đều bằng (2a).
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(a\sqrt 2 \), có các cạnh bên đều bằng \(2a\).
a) Tính góc giữa \(SC\) và \(AB\).
b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác \(SAB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Cách xác định góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\):
Bước 1: Lấy một điểm \(O\) bất kì.
Bước 2: Qua điểm \(O\) dựng đường thẳng \(a'\parallel a\) và đường thẳng \(b'\parallel b\).
Bước 3: Tính \(\left( {a,b} \right) = \left( {a',b'} \right)\).
b) Sử dụng phép chiếu vuông góc.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(AB\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \left( {SC,AB} \right) = \left( {SC,C{\rm{D}}} \right) = \widehat {SC{\rm{D}}}\)
Xét \(\Delta SCD\) có:
\(\cos \widehat {SCD} = \frac{{S{C^2} + C{{\rm{D}}^2} - S{{\rm{D}}^2}}}{{2.SC.C{\rm{D}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \widehat {SCD} \approx {69^ \circ }18'\)
Vậy \(\left( {SC,AB} \right) \approx {69^ \circ }18'\).
b) Gọi \(O = AC \cap B{\rm{D}}\).
\(\Delta SAC\) cân tại \(S \Rightarrow SO \bot AC\)
\(\Delta SB{\rm{D}}\) cân tại \(S \Rightarrow SO \bot B{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow O\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Lại có \(A,B \in \left( {ABCD} \right)\).
Vậy tam giác \(OAB\) là hình chiếu vuông góc của tam giác \(SAB\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)
Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a\)
Mà ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của mỗi đường chéo.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AO = BO = \frac{{AC}}{2} = a\\ \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}AO.BO = \frac{1}{2}a.a = \frac{1}{2}{a^2}\end{array}\)
Vậy diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác SAB trên mặt phẳng (ABCD) là \(\frac{1}{2}{a^2}\)
Bài 3 trang 64 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về phép biến hình. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm và tính chất của các phép biến hình cơ bản.
Bài 3 yêu cầu học sinh thực hiện các phép biến hình trên một hình cho trước, xác định ảnh của các điểm và đường thẳng sau khi thực hiện phép biến hình. Cụ thể, bài tập thường yêu cầu:
Để giải Bài 3 trang 64 SGK Toán 11 tập 2, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2, 3) và vectơ v = (1, -2). Tìm ảnh M' của M qua phép tịnh tiến theo vectơ v.
Giải: Áp dụng công thức phép tịnh tiến, ta có:
M'(x0 + a, y0 + b) = M'(2 + 1, 3 - 2) = M'(3, 1).
Vậy, ảnh M' của M qua phép tịnh tiến theo vectơ v là M'(3, 1).
Để củng cố kiến thức về phép biến hình, học sinh có thể tự giải thêm các bài tập sau:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết Bài 3 trang 64 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!
