Bài 2. Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất

Trong chương trình Toán 11, phần Thống kê và Xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về việc đánh giá khả năng xảy ra của các sự kiện. Bài 2, với chủ đề “Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất”, là một bước tiến quan trọng trong việc xây dựng nền tảng lý thuyết này.

1. Biến cố hợp là gì?

Biến cố hợp của hai biến cố A và B (ký hiệu A ∪ B) là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Nói cách khác, A ∪ B xảy ra nếu A xảy ra, B xảy ra, hoặc cả A và B cùng xảy ra. Ví dụ, nếu A là biến cố “tung đồng xu được mặt ngửa” và B là biến cố “tung đồng xu được mặt sấp”, thì A ∪ B là biến cố “tung đồng xu”.

2. Quy tắc cộng xác suất

Quy tắc cộng xác suất là công cụ quan trọng để tính xác suất của biến cố hợp. Quy tắc này phát biểu rằng:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

• P(A ∪ B) là xác suất của biến cố hợp A ∪ B.
• P(A) là xác suất của biến cố A.
• P(B) là xác suất của biến cố B.
• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao A ∩ B (biến cố xảy ra khi cả A và B cùng xảy ra).

Trường hợp đặc biệt: Nếu A và B là hai biến cố xung khắc (không thể xảy ra đồng thời, tức là P(A ∩ B) = 0), thì quy tắc cộng xác suất trở thành:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

3. Ví dụ minh họa

Xét một hộp chứa 5 quả bóng, trong đó có 3 quả bóng đỏ và 2 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “lấy được ít nhất một quả bóng đỏ”. Khi đó, biến cố đối của A (A') là biến cố “lấy được cả hai quả bóng xanh”.

Xác suất của biến cố A' là:

P(A') = (Số cách chọn 2 quả bóng xanh) / (Số cách chọn 2 quả bóng từ 5 quả)

P(A') = C(2,2) / C(5,2) = 1 / 10

Vậy, xác suất của biến cố A là:

P(A) = 1 - P(A') = 1 - 1/10 = 9/10

4. Bài tập áp dụng

Bài 1: Một chiếc hộp chứa 4 quả bóng trắng, 3 quả bóng đen và 2 quả bóng đỏ. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được một quả bóng trắng hoặc một quả bóng đỏ.

Bài 2: Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.

5. Mở rộng kiến thức

Quy tắc cộng xác suất có thể được mở rộng cho nhiều biến cố hơn. Ví dụ, để tính xác suất của biến cố hợp của ba biến cố A, B và C, ta có:

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

6. Kết luận

Bài 2 về biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng trong lý thuyết xác suất. Việc nắm vững những kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.