Lý thuyết Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất - Toán 11 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất - Toán 11 Chân trời sáng tạo

Trong chương trình Toán 11, phần xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Một trong những khái niệm cơ bản và thường xuyên xuất hiện trong các bài toán là biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, ví dụ minh họa và các bài tập ứng dụng để giúp bạn nắm vững kiến thức này.

1. Biến cố hợp là gì?

Trong thực tế, khi thực hiện một phép thử, có thể xảy ra nhiều kết quả khác nhau. Mỗi kết quả như vậy được gọi là một biến cố đơn giản. Biến cố hợp là sự kết hợp của một hoặc nhiều biến cố đơn giản. Ví dụ:

• Phép thử: Tung một con xúc xắc.
• Biến cố đơn giản: Xuất hiện mặt 1, mặt 2, mặt 3, mặt 4, mặt 5, mặt 6.
• Biến cố hợp A: Xuất hiện mặt số chẵn (gồm các biến cố đơn giản: mặt 2, mặt 4, mặt 6).

Biến cố hợp có thể được biểu diễn bằng tập hợp các biến cố đơn giản tạo nên nó.

2. Các phép toán trên biến cố hợp

Có ba phép toán cơ bản trên biến cố hợp:

1. Biến cố hợp (Union): A ∪ B là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.
2. Biến cố giao (Intersection): A ∩ B là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra.
3. Phần bù (Complement): A^c là biến cố không xảy ra biến cố A.

3. Quy tắc cộng xác suất

Quy tắc cộng xác suất là một công cụ quan trọng để tính xác suất của biến cố hợp. Có hai trường hợp:

• Trường hợp 1: Hai biến cố A và B xung khắc (không thể xảy ra đồng thời): P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
• Trường hợp 2: Hai biến cố A và B không xung khắc: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

• P(A) là xác suất của biến cố A.
• P(B) là xác suất của biến cố B.
• P(A ∪ B) là xác suất của biến cố hợp A ∪ B.
• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao A ∩ B.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc. Tính xác suất để xuất hiện mặt số chẵn hoặc mặt số lớn hơn 3.

Giải:

• A: Xuất hiện mặt số chẵn (A = {2, 4, 6}) => P(A) = 3/6 = 1/2
• B: Xuất hiện mặt số lớn hơn 3 (B = {4, 5, 6}) => P(B) = 3/6 = 1/2
• A ∩ B = {4, 6} => P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/2 + 1/2 - 1/3 = 2/3

Ví dụ 2: Rút một lá bài từ bộ bài 52 lá. Tính xác suất để rút được lá Át hoặc lá Rô.

Giải:

• A: Rút được lá Át => P(A) = 4/52 = 1/13
• B: Rút được lá Rô => P(B) = 13/52 = 1/4
• A ∩ B: Rút được lá Át Rô => P(A ∩ B) = 1/52
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/13 + 1/4 - 1/52 = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13

5. Bài tập áp dụng

1. Một hộp chứa 5 quả cầu đỏ và 3 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để lấy được 2 quả cầu đỏ.

2. Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.

3. Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 10 học sinh giỏi Toán và 8 học sinh giỏi Văn. Có 5 học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất để học sinh đó giỏi Toán hoặc giỏi Văn.

6. Kết luận

Lý thuyết Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán về xác suất. Việc nắm vững các khái niệm, công thức và áp dụng chúng vào thực tế sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc đối phó với các bài toán phức tạp. Chúc bạn học tốt!