Bài 2. Giới hạn của hàm số

Bài 2. Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo Chương 3 Giới hạn. Hàm số liên tục

I. Khái niệm giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số là một khái niệm cơ bản trong giải tích, mô tả hành vi của hàm số khi biến số độc lập tiến tới một giá trị cụ thể. Nói cách khác, giới hạn cho biết giá trị mà hàm số 'tiến tới' khi x tiến tới một giá trị nhất định, dù x có thực sự bằng giá trị đó hay không.

1. Định nghĩa giới hạn tại một điểm

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng mở chứa c (trừ có thể tại c). Ta nói rằng giới hạn của f(x) khi x tiến tới c là L, ký hiệu là lim_x→c f(x) = L, nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương δ (delta) sao cho nếu 0 < |x - c| < δ thì |f(x) - L| < ε.

2. Định nghĩa giới hạn vô cực

Nếu f(x) trở nên lớn hơn bất kỳ số dương M nào khi x tiến tới c, ta nói rằng giới hạn của f(x) khi x tiến tới c là vô cực, ký hiệu là lim_x→c f(x) = +∞. Tương tự, nếu f(x) trở nên nhỏ hơn bất kỳ số âm M nào khi x tiến tới c, ta nói rằng giới hạn của f(x) khi x tiến tới c là âm vô cực, ký hiệu là lim_x→c f(x) = -∞.

II. Các phương pháp tính giới hạn

Phương pháp trực tiếp: Thay trực tiếp giá trị của x vào hàm số để tính giới hạn.
Phương pháp phân tích thành nhân tử: Sử dụng các phép biến đổi đại số để phân tích thành nhân tử, sau đó rút gọn và tính giới hạn.
Phương pháp nhân liên hợp: Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp để khử dạng vô định.
Phương pháp sử dụng giới hạn đặc biệt: Áp dụng các giới hạn đặc biệt như lim_x→0 sin(x)/x = 1, lim_x→0 (1 - cos(x))/x = 0.

III. Bài tập ví dụ và lời giải

Ví dụ 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Lời giải:

Ta có: lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4.

Ví dụ 2: Tính lim_x→0 sin(3x) / x

Lời giải:

Ta có: lim_x→0 sin(3x) / x = lim_x→0 3 * sin(3x) / (3x) = 3 * lim_x→0 sin(3x) / (3x) = 3 * 1 = 3 (sử dụng giới hạn đặc biệt lim_u→0 sin(u)/u = 1).

IV. Ứng dụng của giới hạn trong việc nghiên cứu hàm số

Giới hạn đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính liên tục của hàm số, tìm tiệm cận của đồ thị hàm số, và tính đạo hàm của hàm số. Việc hiểu rõ về giới hạn giúp ta phân tích và dự đoán được hành vi của hàm số trong các trường hợp khác nhau.

V. Luyện tập

Bài 1: Tính lim_x→1 (x³ - 1) / (x - 1)
Bài 2: Tính lim_x→0 (1 - cos(x)) / x²
Bài 3: Tính lim_x→∞ (2x + 1) / (x - 3)

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan về Bài 2. Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.