Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 2 của giaibaitoan.com. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 3, trang 62, 63 và 64 của sách giáo khoa Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Hai người thợ trong hình đang thả dây dọi từ một điểm (M) trên trần nhà và đánh dấu điểm (M') nơi đầu nhọn quả dọi chạm sàn.
Hai người thợ trong hình đang thả dây dọi từ một điểm \(M\) trên trần nhà và đánh dấu điểm \(M'\) nơi đầu nhọn quả dọi chạm sàn. Có nhận xét gì về đường thẳng \(MM'\) với mặt sàn?
Phương pháp giải:
Quan sát hình ảnh và trả lời câu hỏi.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(MM'\) vuông góc với mặt sàn.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm \(C\), đường thẳng \(CD\) và tam giác \(SC{\rm{D}}\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng phép chiếu vuông góc.
Lời giải chi tiết:
• Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)
Vậy \(B\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(C\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
• Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot A{\rm{D}}\\AB \bot A{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow A{\rm{D}} \bot \left( {SAB} \right)\)
Vậy \(A\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(D\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Lại có \(B\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(C\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Vậy đường thẳng \(AB\) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(CD\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
• Ta có:
\(A\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(D\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
\(B\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(C\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
\(S \in \left( {SAB} \right)\)
Vậy tam giác \(SAB\) là hình chiếu vuông góc của tam giác \(SCD\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Cho đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(b\) là đường thẳng không thuộc \(\left( P \right)\) và không vuông góc với \(\left( P \right)\). Lấy hai điểm \(A,B\) trên \(b\) và gọi \(A',B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) và \(B\) trên \(\left( P \right)\).
a) Xác định hình chiếu \(b'\) của \(b\) trên \(\left( P \right)\).
b) Cho \(a\) vuông góc với \(b\), nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:
i) đường thẳng \(a\) và \(mp\left( {b,b'} \right)\);
ii) hai đường thẳng \(a\) và \(b'\).
c) Cho \(a\) vuông góc với \(b'\), nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:
i) đường thẳng \(a\) và \(mp\left( {b,b'} \right)\);
ii) giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\).
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí: Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(a\) và \(b\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d \bot \left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(AA' \bot \left( P \right),BB' \bot \left( P \right),A,B \in b\)
Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(b\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) là đường thẳng \(A'B'\).
Vậy \(b' \equiv A'B'\).
b) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AA' \bot \left( P \right) \Rightarrow AA' \bot a\\a \bot b\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot mp\left( {b,b'} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}a \bot mp\left( {b,b'} \right)\\b' \subset mp\left( {b,b'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b'\)
c) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AA' \bot \left( P \right) \Rightarrow AA' \bot a\\a \bot b'\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot mp\left( {b,b'} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}a \bot mp\left( {b,b'} \right)\\b \subset mp\left( {b,b'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b\)
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc. Vẽ đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) tại \(H\). Chứng minh \(AH \bot BC\).
Phương pháp giải:
Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
Cách 1: Chứng minh góc giữa chúng bằng \({90^ \circ }\).
Cách 2: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right\} \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\\OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot BC\\ \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot AH\end{array}\)
Nếu cách tìm hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng \(AB\) trên trần nhà xuống nền nhà bằng hai dây dọi.
Phương pháp giải:
Sử dụng phép chiếu vuông góc.
Lời giải chi tiết:
Thả dây dọi từ điểm \(A\) và đánh dấu điểm \(A'\) nơi đầu quả dọi chạm sàn.
Thả dây dọi từ điểm \(B\) và đánh dấu điểm \(B'\) nơi đầu quả dọi chạm sàn.
Khi đó đoạn thẳng \(A'B'\) là hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng \(AB\) trên trần nhà xuống nền nhà.
Mục 3 của SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số. Cụ thể, các bài tập trong trang 62, 63 và 64 xoay quanh việc tính đạo hàm của các hàm số đơn giản, áp dụng quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp. Việc nắm vững các quy tắc này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn về đạo hàm trong chương trình học.
Các bài tập trang 62 chủ yếu yêu cầu học sinh tính đạo hàm của các hàm số cơ bản như hàm số bậc, hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nhớ các công thức đạo hàm cơ bản và áp dụng chúng một cách chính xác.
Ví dụ, đạo hàm của hàm số f(x) = xn là f'(x) = nxn-1. Đạo hàm của hàm số sin(x) là cos(x). Đạo hàm của hàm số ex là ex.
Trang 63 giới thiệu các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số. Các quy tắc này cho phép học sinh tính đạo hàm của các hàm số phức tạp hơn bằng cách phân tích chúng thành các hàm số đơn giản hơn.
Ví dụ, đạo hàm của tổng hai hàm số u(x) và v(x) là (u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x). Đạo hàm của tích hai hàm số u(x) và v(x) là (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Trang 64 tập trung vào việc tính đạo hàm của hàm hợp. Hàm hợp là hàm số được tạo thành bằng cách thay một hàm số vào một hàm số khác. Để tính đạo hàm của hàm hợp, học sinh cần áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x).
Ví dụ, nếu f(x) = sin(x) và g(x) = x2, thì f(g(x)) = sin(x2) và (sin(x2))' = cos(x2) * 2x.
Ví dụ minh họa:
Bài tập: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2sin(x) - ex
Giải:
f'(x) = (3x2)' + (2sin(x))' - (ex)'
f'(x) = 6x + 2cos(x) - ex
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải bài tập được trình bày trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập môn Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tốt!
