Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 1 trang 80, 81 SGK Toán 11 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu cùng với phương pháp giải bài tập một cách khoa học.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, tự tin giải quyết các bài toán Toán 11 và đạt kết quả cao trong học tập.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{khi\,\,0 \le x \le 1}\\{1 + x}&{khi\,\,1 < x \le 2}\\{5 - x}&{khi\,\,2 < x \le 3}\end{array}} \right.\) có đồ thị như Hình 1.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{khi\,\,0 \le x \le 1}\\{1 + x}&{khi\,\,1 < x \le 2}\\{5 - x}&{khi\,\,2 < x \le 3}\end{array}} \right.\) có đồ thị như Hình 1.
Tại mỗi điểm \({x_0} = 1\) và \({x_0} = 2\), có tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) không? Nếu có, giới hạn đó có bằng \(f\left( {{x_0}} \right)\) không?
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính các giới hạn một bên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } {\rm{ }}f\left( x \right)\).
Bước 2: So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } {\rm{ }}f\left( x \right)\)
• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } {\rm{ }}f\left( x \right) = L\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\).
• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } {\rm{ }}f\left( x \right)\) thì không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {1 + x} \right) = 1 + 1 = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 1 = 1\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\).
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {5 - x} \right) = 5 - 2 = 3\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {1 + x} \right) = 1 + 2 = 3\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right) = 3\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 3\).
Ta có: \(f\left( 2 \right) = 1 + 2 = 3\).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\).
Xét tính liên tục của hàm số:
a) \(f\left( x \right) = 1 - {x^2}\) tại điểm \({x_0} = 3\);
b) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 1}&{khi\,\,x > 1}\\{ - x}&{khi\,\,x \le 1}\end{array}} \right.\) tại điểm \({x_0} = 1\).
Phương pháp giải:
Bước 1: Kiểm tra \({x_0}\) thuộc tập xác định. Tính \(f\left( {{x_0}} \right)\).
Bước 2: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) (nếu có).
Bước 3: Kết luận:
• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) thì hàm số liên tục tại điểm \({x_0}\).
• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)\) hoặc không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) thì hàm số không liên tục tại điểm \({x_0}\).
Lời giải chi tiết:
a) \(f\left( 3 \right) = 1 - {3^2} = 1 - 9 = - 8\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {1 - {x^2}} \right) = 1 - {3^2} = 1 - 9 = - 8\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = - 8\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 3\).
b) \(f\left( 1 \right) = - 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = {1^2} + 1 = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - x} \right) = - 1\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\)
Vậy hàm số không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
Mục 1 của chương trình Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc giới thiệu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng, mở đầu cho chương trình Giải tích. Việc hiểu rõ khái niệm này sẽ giúp học sinh tiếp cận các kiến thức phức tạp hơn trong tương lai.
Dưới đây là lời giải chi tiết các bài tập trong mục 1 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo:
Lời giải:
Lời giải:
Ta có f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1). Với x ≠ 1, ta có f(x) = x + 1. Do đó, lim (x→1) f(x) = lim (x→1) (x + 1) = 1 + 1 = 2.
Dưới đây là lời giải chi tiết các bài tập trong mục 1 trang 81 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo:
Lời giải:
Lời giải:
lim (x→0+) 1/x = +∞ và lim (x→0-) 1/x = -∞.
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập trên, các em học sinh đã hiểu rõ hơn về khái niệm giới hạn và cách giải các bài tập liên quan. Chúc các em học tập tốt!
