Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 2 trang 26, 27 SGK Toán 11 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu cùng với phương pháp giải bài tập một cách khoa học, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Bài tập mục 2 tập trung vào các kiến thức về phép biến hóa affine, bao gồm các dạng bài tập về tìm ảnh của điểm, đường thẳng qua phép biến hóa affine, xác định phép biến hóa affine.
Xét hai hàm số (y = {x^2},y = 2x) và đồ thị của chúng trong Hình 2.
Xét hai hàm số \(y = {x^2},y = 2x\) và đồ thị của chúng trong Hình 2. Đối với mỗi trường hợp, nêu mối liên hệ của giá trị hàm số tại 1 và -1, 2 và -2. Nhận xét về tính đối xứng của mỗi đồ thị hàm số.
Phương pháp giải:
Quan sát đồ thị để trả lời.
Lời giải chi tiết:
* Hàm số \(y = {x^2}\)
Nhìn đồ thị ta thấy:
+ \(y(1) = y( - 1) = 1,y(2) = y( - 2) = 4\)
+ Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy.
* Hàm số \(y = 2x\)
Nhìn đồ thị ta thấy:
+ \(y(1) = - y( - 1),y(2) = - y( - 2)\)
+ Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm O.
Chứng minh rằng hàm số y = sinx và hàm số y = cotx là các hàm số lẻ.
Phương pháp giải:
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D. Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\)thì \( - x \in D\)và \(f( - x) = - f(x)\).
Lời giải chi tiết:
* Hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\)
Tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\).
Với mọi \(x \in \mathbb{R}\)thì \( - x \in \mathbb{R}\) và \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\left( { - x} \right) = - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x\).
Vậy nên \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) là hàm số lẻ.
* Hàm số \(y = \cot x\)
Tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Với mọi \(x \in \mathbb{R}\)thì \( - x \in \mathbb{R}\) và \(\cot \left( { - x} \right) = - \cot x\).
Vậy nên \(y = \cot {\rm{x}}\) là hàm số lẻ.
Hãy chỉ ra một số thực T sao cho sin(x + T) = sinx với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Phương pháp giải:
Dựa vào tính chất
\(\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \cos \alpha \\\tan \left( {\alpha + k\pi } \right) = \tan \alpha \\\cot \left( {\alpha + k\pi } \right) = \cot \alpha \end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Do \(\sin \left( {x + k2\pi } \right) = \sin x\),\(k \in \mathbb{Z}\).
\( \Rightarrow \sin \left( {x + 2\pi } \right) = \sin x\)
Nên \(T = 2\pi \).
Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cosx và hàm số y = cotx
Phương pháp giải:
Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T \( \ne \)0 sao cho với mọi \(x \in D\)ta có \(x \pm T \in D\) và\(f(x + T) = f(x)\)
Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
Lời giải chi tiết:
* Hàm số y = cosx
+ Tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\).
+ Với mọi \(x \in \mathbb{R}\)ta có \(x \pm 2\pi \in D\) và\(\cos (x + 2\pi ) = \cos (x)\)
Vậy hàm số y = cosx là hàm tuần hoàn vỡi chu kì \(T = 2\pi \).
* Hàm số y = cotx
+ Tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
+ Với mọi \(x \in \mathbb{R}\)ta có \(x \pm \pi \in D\) và\(\cot (x + \pi ) = \cot (x)\)
Vậy hàm số y = cosx là hàm tuần hoàn vỡi chu kì \(T = \pi \).
Mục 2 của chương trình Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo giới thiệu về phép biến hóa affine, một khái niệm quan trọng trong hình học. Để giải các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững định nghĩa, tính chất của phép biến hóa affine và các công thức liên quan.
Phép biến hóa affine là một phép biến đổi hình học bảo toàn tính thẳng hàng và tỷ số giữa các đoạn thẳng trên cùng một đường thẳng. Một phép biến hóa affine được xác định bởi một ma trận affine và một vector tịnh tiến.
Áp dụng công thức, ta có:
x' = 2(1) + 2 = 4
y' = 1 - 2 = -1
Vậy, ảnh của điểm A(1; 2) qua phép biến hóa affine f là A'(4; -1).
Chọn hai điểm trên đường thẳng d: A(1; 2) và B(3; 0).
Tìm ảnh của A và B qua phép biến hóa f:
A'(1 + 1; 2 - 2) = A'(2; 0)
B'(3 + 1; 0 - 2) = B'(4; -2)
Đường thẳng d' đi qua A'(2; 0) và B'(4; -2) có phương trình:
(y - 0) / (x - 2) = (-2 - 0) / (4 - 2) = -1
y = -x + 2
Vậy, ảnh của đường thẳng d: x + y = 3 qua phép biến hóa affine f là d': x + y = 2.
Giả sử phép biến hóa affine f có dạng f(x; y) = (ax + by + c; dx + ey + f).
Từ f(0; 0) = (1; 1), ta có:
c = 1
f = 1
Từ f(1; 0) = (2; 3), ta có:
a + c = 2 => a = 1
d + f = 3 => d = 2
Vậy, phép biến hóa affine f có dạng f(x; y) = (x + by + 1; 2x + ey + 1).
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài tập về phép biến hóa affine trong chương trình Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
