Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về mối quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, điều kiện, tính chất và các ứng dụng thực tế của lý thuyết này. Giaibaitoan.com cam kết mang đến cho bạn một trải nghiệm học tập hiệu quả và thú vị.
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong \(\left( \alpha \right)\), kí hiệu \(d \bot \left( \alpha \right)\).
Định lí 1:
Nếu một đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d \bot \left( \alpha \right)\).
Định lí 2:
- Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Định lí 3:
a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Định lí 4:
a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Định lí 5:
a) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Đường thẳng nào vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) thì cũng vuông góc với a.
b) Nếu đường thẳng a và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) (không chứa a) cũng vuông góc với một đường thẳng b thì chúng song song với nhau.
3. Phép chiếu vuông góc
Định nghĩa: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d vuông góc với (P). Phép chiếu song song theo phương của d lên mặt phẳng (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên (P).
Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không nằm trong (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (P). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.
Trong chương trình Hình học không gian lớp 11, kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đóng vai trò then chốt. Hiểu rõ lý thuyết này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và nhiều vấn đề khác.
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều kiện để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) là d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
Ví dụ: Xét đường thẳng d và mặt phẳng (P). Nếu d vuông góc với đường thẳng a và b nằm trong (P) và a cắt b, thì d vuông góc với (P).
Có một tính chất quan trọng liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mọi đường thẳng nằm trong (P) và vuông góc với d đều cắt d tại một điểm.
Hệ quả: Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng, có duy nhất một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó.
Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta thường sử dụng các phương pháp sau:
Lý thuyết về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các bài toán hình học không gian:
Để củng cố kiến thức, hãy cùng giải một số bài tập vận dụng:
Lý thuyết về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là một phần quan trọng của chương trình Hình học không gian. Nó liên hệ chặt chẽ với các kiến thức khác như vectơ, tích vô hướng, góc giữa hai đường thẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Việc nắm vững các kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.
Hy vọng bài học về lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Toán 11 Chân trời sáng tạo này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết và hữu ích. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
