Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Hàm số liên tục trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo tại giaibaitoan.com. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng, định nghĩa, điều kiện và các ví dụ minh họa để bạn hiểu rõ về hàm số liên tục.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập trực tuyến hiệu quả và thú vị, giúp bạn tự tin giải quyết các bài tập liên quan đến chủ đề này.
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
Cho hàm \(y = f(x)\) xác định trên khoảng K, \({x_0} \in K\). Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).
Hàm số không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
*Nhận xét: Để hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \({x_0}\) thì phải có cả 3 điều sau:
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
- Hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)
Hàm số \(y = f(x)\)được gọi là liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
- Hàm số \(y = f(x)\)được gọi là liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\).
* Nhận xét:
- Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là “đường liền” trên khoảng, đoạn đó.
- Nếu hàm số\(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f(a).f(b) < 0\)thì phương trình \(f(x) = 0\)có ít nhất một nghiệm trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
3. Tính liên tục của hàm sơ cấp cơ bản
- Hàm số đa thức và hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},y = c{\rm{osx}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
- Các hàm số \(y = \tan {\rm{x}},y = c{\rm{otx,}}y = \sqrt x \)và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.
2. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục
Giả sử hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó:
a, Các hàm số \(y = f(x) \pm g(x)\)và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).
b, Hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại điểm \({x_0}\)nếu \(g({x_0}) \ne 0\).
Hàm số liên tục là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là trong chương trình Chân trời sáng tạo. Việc nắm vững lý thuyết này không chỉ giúp bạn hiểu sâu hơn về hàm số mà còn là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.
Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:
Nói cách khác, một hàm số liên tục tại một điểm nếu đồ thị của nó không bị đứt gãy tại điểm đó.
Một hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a, b).
Các hàm số liên tục có một số tính chất quan trọng sau:
Một số hàm số thường gặp được coi là liên tục trên tập xác định của chúng:
Ví dụ 1: Hàm số f(x) = x2 + 1 là một hàm đa thức, do đó nó liên tục trên tập số thực ℝ.
Ví dụ 2: Hàm số f(x) = 1/x là một hàm phân thức hữu tỷ. Nó liên tục trên tập ℝ trừ điểm x = 0 (vì mẫu số bằng 0 tại x = 0).
Khái niệm hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
Để củng cố kiến thức về hàm số liên tục, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
