Bài 1. Dãy số

Bài 1. Dãy số - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Giải pháp chi tiết

Bài 1. Dãy số trong SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bước khởi đầu quan trọng trong việc làm quen với các khái niệm về dãy số, một trong những chủ đề cốt lõi của toán học. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập liên quan.

1. Khái niệm dãy số

Dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên hoặc một tập con của nó. Mỗi phần tử của dãy số được gọi là một số hạng. Dãy số có thể hữu hạn hoặc vô hạn.

2. Các loại dãy số thường gặp

Dãy số hữu hạn: Dãy số có số lượng phần tử đếm được. Ví dụ: 1, 2, 3, 4, 5.
Dãy số vô hạn: Dãy số có số lượng phần tử không đếm được. Ví dụ: 1, 2, 3, ...
Dãy số tăng: Dãy số mà mỗi số hạng lớn hơn số hạng đứng trước nó.
Dãy số giảm: Dãy số mà mỗi số hạng nhỏ hơn số hạng đứng trước nó.
Dãy số không đổi: Dãy số mà tất cả các số hạng đều bằng nhau.

3. Cách xác định dãy số

Dãy số có thể được xác định bằng nhiều cách khác nhau:

Liệt kê các số hạng: Ví dụ: 2, 4, 6, 8, 10,...
Công thức tổng quát: Ví dụ: u_n = 2n
Phương pháp đệ quy: Xác định số hạng đầu tiên và công thức tính số hạng sau dựa trên số hạng trước.

4. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi u₁ = 1 và u_n+1 = u_n + 2. Tìm số hạng thứ 5 của dãy số.

Giải:

u₁ = 1
u₂ = u₁ + 2 = 1 + 2 = 3
u₃ = u₂ + 2 = 3 + 2 = 5
u₄ = u₃ + 2 = 5 + 2 = 7
u₅ = u₄ + 2 = 7 + 2 = 9

Vậy số hạng thứ 5 của dãy số là 9.

Bài tập 2: Tìm công thức tổng quát của dãy số 1, 4, 9, 16,...

Giải:

Dãy số này là dãy các số chính phương. Công thức tổng quát của dãy số là u_n = n².

5. Ứng dụng của dãy số

Dãy số có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

Tính lãi kép: Số tiền lãi sau mỗi kỳ hạn tạo thành một dãy số.
Mô tả sự tăng trưởng dân số: Số lượng dân số sau mỗi năm tạo thành một dãy số.
Phân tích dữ liệu: Dãy số được sử dụng để biểu diễn và phân tích dữ liệu trong nhiều lĩnh vực khác nhau.