Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Dãy số của chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo tại giaibaitoan.com. Chúng tôi cung cấp đầy đủ và chi tiết các kiến thức quan trọng về dãy số, giúp bạn học tập hiệu quả và đạt kết quả cao.

Nội dung bài học được trình bày một cách dễ hiểu, kết hợp với các ví dụ minh họa sinh động, giúp bạn nắm bắt nhanh chóng các khái niệm và công thức.

1. Định nghĩa dãy số

1. Định nghĩa dãy số

Dãy số vô hạn

- Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\)được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), nghĩa là

\(u:{\mathbb{N}^*} \to \mathbb{R}\)

\(n \mapsto {u_n} = u\left( n \right)\)

Dãy số trên được kí hiệu là \(\left( {{u_n}} \right)\).

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)được viết dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...\)

- Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_n}\)là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

*Chú ý: Nếu \(\forall n \in {\mathbb{N}^*},{u_n} = c\)thì \(\left( {{u_n}} \right)\)được gọi là dãy số không đổi.

Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập \(M = \left\{ {1;2;3;...;m} \right\},m \in {\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số hữu hạn.Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_m}\).

Trong đó, số \({u_1}\) gọi là số hạng đầu, \({u_m}\)là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

Liệt kê các số hạng (với các dãy hữu hạn).
Công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\).
Phương pháp truy hồi:

- Cho số hạng thứ nhất \({u_1}\) (hoặc một vài số hạng đầu tiên)

- Cho một công thức tính \({u_n}\) theo\({u_{n - 1}}\) (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

Phương pháp mô tả.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

4. Dãy số bị chặn

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu \(\exists \) số M sao cho \({u_n} \le M,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu \(\exists \) số m sao cho \({u_n} \ge m,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo 1

Chinh phục đỉnh cao Toán 11 và đặt nền móng vững chắc cho cánh cửa Đại học với nội dung Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo trong chuyên mục Bài tập Toán lớp 11 trên nền tảng toán! Bộ bài tập lý thuyết toán thpt, được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Dãy số là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là ở cấp THPT. Trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo, phần Lý thuyết Dãy số đóng vai trò nền tảng để hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân và giới hạn dãy số.

1. Khái niệm dãy số

Một dãy số là một hàm số u được xác định trên tập hợp các số tự nhiên ℕ (hoặc một tập con của ℕ) và nhận giá trị trong tập số thực ℝ. Ký hiệu: u: ℕ → ℝ.

Mỗi phần tử của dãy số được gọi là một số hạng của dãy số. Số hạng thứ n của dãy số được ký hiệu là u_n.

2. Các loại dãy số thường gặp

Dãy số hữu hạn: Dãy số có số lượng phần tử hữu hạn.
Dãy số vô hạn: Dãy số có số lượng phần tử vô hạn.
Dãy số tăng: Dãy số mà u_n+1 > u_n với mọi n ∈ ℕ.
Dãy số giảm: Dãy số mà u_n+1 < u_n với mọi n ∈ ℕ.
Dãy số không đổi: Dãy số mà u_n+1 = u_n với mọi n ∈ ℕ.

3. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai được tạo thành bằng cách cộng một số không đổi (công sai d) vào số hạng đứng trước nó.

Công thức tổng quát của cấp số cộng: u_n = u₁ + (n - 1)d.

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: S_n = (n/2)(u₁ + u_n) = (n/2)[2u₁ + (n - 1)d].

4. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước nó với một số không đổi (tỉ số q).

Công thức tổng quát của cấp số nhân: u_n = u₁ * q^{(n - 1)}.

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

Nếu q = 1: S_n = n * u₁.
Nếu q ≠ 1: S_n = u₁(1 - qⁿ) / (1 - q).

5. Giới hạn dãy số

Giới hạn của một dãy số là giá trị mà các số hạng của dãy số tiến tới khi n tiến tới vô cùng.

Nếu dãy số (u_n) có giới hạn là L, ta viết lim u_n = L.

Các tính chất của giới hạn dãy số:

lim (u_n + v_n) = lim u_n + lim v_n.
lim (u_n * v_n) = lim u_n * lim v_n.
lim (u_n / v_n) = (lim u_n) / (lim v_n) (với lim v_n ≠ 0).

6. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3.

Giải: u₁₀ = u₁ + (10 - 1)d = 2 + 9 * 3 = 29.

Ví dụ 2: Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và tỉ số q = 2.

Giải: S₂₀ = u₁(1 - q²⁰) / (1 - q) = 1(1 - 2²⁰) / (1 - 2) = 2²⁰ - 1 = 1048575.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan về Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.