Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Đạo hàm trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Đây là một trong những chủ đề quan trọng và nền tảng của giải tích, giúp bạn hiểu rõ hơn về sự thay đổi của hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, dễ hiểu, cùng với các bài tập thực hành đa dạng để bạn có thể nắm vững kiến thức một cách hiệu quả.
1. Đạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).
1. Đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f(x) tại điểm \({x_0}\), kí hiệu là \(f'\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(y'\left( {{x_0}} \right)\).
Vậy:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
Chú ý:
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng (a; b), kí hiệu y’ hoặc f’(x).
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có đạo hàm tại \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).
a) Đại lượng \(\Delta x = x - {x_0}\) gọi là số gia của biến tại \({x_0}\). Đại lượng \(y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)\) gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, \(x = {x_0} + \Delta x\) và
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\).
b) Tỉ số \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ \({x_0}\) đến \({x_0} + \Delta x\); còn \(f'\left( {{x_0}} \right)\) biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng x tại điểm \({x_0}\).
2. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
- Nếu hàm số s = f(t) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì \(f'\left( {{t_0}} \right)\) biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm \({t_0}\).
- Nếu hàm số T = f(t) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì \(f'\left( {{t_0}} \right)\) biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm \({t_0}\).
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến \({M_0}T\) với đồ thị (C) của hàm số tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).
Tiếp tuyến \({M_0}T\) có phương trình là \(y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\).
Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích, mô tả tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số tại một điểm. Trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo, học sinh sẽ được làm quen với các khái niệm cơ bản về đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
Trước khi đi sâu vào lý thuyết đạo hàm, chúng ta cần nắm vững khái niệm về giới hạn và liên tục của hàm số. Giới hạn của hàm số tại một điểm là giá trị mà hàm số tiến tới khi biến số tiến tới điểm đó. Hàm số liên tục tại một điểm nếu giới hạn của hàm số tại điểm đó bằng giá trị của hàm số tại điểm đó.
Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 được định nghĩa là:
f'(x0) = limh→0 [f(x0 + h) - f(x0)] / h
Nếu giới hạn này tồn tại, ta nói hàm số f(x) có đạo hàm tại x0. Đạo hàm f'(x0) biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số f(x) tại điểm x0.
Để tính đạo hàm một cách nhanh chóng và hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm sau:
Nếu y = f(u) và u = g(x), thì đạo hàm của y theo x được tính bằng công thức:
dy/dx = (dy/du) * (du/dx)
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 1
Giải: f'(x) = 6x + 2
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sin(2x)
Giải: f'(x) = 2cos(2x)
Để củng cố kiến thức về lý thuyết đạo hàm, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết đạo hàm trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
