Bài 4. Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 4 trong SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc khám phá các hàm số lượng giác cơ bản như sin, cosin, tang và cotang, cùng với việc vẽ và phân tích đồ thị của chúng. Việc hiểu rõ các tính chất của hàm số lượng giác và đồ thị của chúng là vô cùng quan trọng, không chỉ cho việc giải các bài toán trong chương trình học mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.

1. Hàm số sin và cosin

Hàm số sin (y = sin x) và cosin (y = cos x) là hai hàm số lượng giác cơ bản nhất. Chúng có chu kỳ là 2π, giá trị của chúng nằm trong khoảng [-1, 1]. Đồ thị của hàm số sin và cosin là các đường cong liên tục, lặp đi lặp lại.

• Hàm số sin: Đồ thị hàm số sin bắt đầu từ điểm (0, 0), tăng lên đến giá trị lớn nhất là 1 tại x = π/2, sau đó giảm xuống 0 tại x = π, tiếp tục giảm xuống giá trị nhỏ nhất là -1 tại x = 3π/2 và trở lại 0 tại x = 2π.
• Hàm số cosin: Đồ thị hàm số cosin bắt đầu từ điểm (0, 1), giảm xuống 0 tại x = π/2, tiếp tục giảm xuống giá trị nhỏ nhất là -1 tại x = π, sau đó tăng lên 0 tại x = 3π/2 và trở lại 1 tại x = 2π.

2. Hàm số tang và cotang

Hàm số tang (y = tan x) và cotang (y = cot x) là hai hàm số lượng giác khác cũng rất quan trọng. Tuy nhiên, chúng có chu kỳ khác và có các đường tiệm cận đứng.

• Hàm số tang: Hàm số tang có chu kỳ là π và có các đường tiệm cận đứng tại x = π/2 + kπ (k là số nguyên).
• Hàm số cotang: Hàm số cotang có chu kỳ là π và có các đường tiệm cận đứng tại x = kπ (k là số nguyên).

3. Biến đổi đồ thị hàm số lượng giác

Để vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác có dạng y = A sin(Bx + C) + D hoặc y = A cos(Bx + C) + D, ta cần thực hiện các phép biến đổi sau:

1. Biến đổi theo chiều ngang: B ảnh hưởng đến chu kỳ của hàm số. Chu kỳ mới là 2π/|B|.
2. Biến đổi theo chiều dọc: A ảnh hưởng đến biên độ của hàm số. Biên độ mới là |A|.
3. Biến đổi theo chiều ngang: C ảnh hưởng đến pha ban đầu của hàm số.
4. Biến đổi theo chiều dọc: D ảnh hưởng đến vị trí của đường trung bình. Đường trung bình mới là D.

4. Ứng dụng của hàm số lượng giác và đồ thị

Hàm số lượng giác và đồ thị của chúng có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Vật lý: Mô tả các hiện tượng dao động, sóng.
• Kỹ thuật: Thiết kế các mạch điện, xử lý tín hiệu.
• Địa lý: Tính toán các góc, khoảng cách.
• Âm nhạc: Phân tích âm thanh, tạo ra các hiệu ứng âm thanh.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = 2sin(x - π/4). Ta thấy A = 2, B = 1, C = -π/4, D = 0. Biên độ là 2, chu kỳ là 2π, pha ban đầu là -π/4, đường trung bình là 0. Đồ thị hàm số là đồ thị hàm số sin bị giãn theo chiều dọc với biên độ 2 và dịch chuyển sang phải π/4 đơn vị.

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số y = tan(2x + π/3). Hàm số xác định khi 2x + π/3 ≠ π/2 + kπ (k là số nguyên). Giải phương trình này, ta được x ≠ π/12 + kπ/2 (k là số nguyên).

Hy vọng với những giải thích chi tiết và ví dụ minh họa trên, bạn đã hiểu rõ hơn về Bài 4. Hàm số lượng giác và đồ thị - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.