Giải Toán 11 Chương VII. Đạo hàm - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Chương VII. Đạo hàm - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Chương VII trong sách giáo khoa Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập trung vào việc giới thiệu khái niệm đạo hàm, ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.

1. Khái niệm đạo hàm

Đạo hàm của một hàm số f(x) tại một điểm x₀, ký hiệu là f'(x₀), biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó. Nó được định nghĩa bằng giới hạn:

f'(x₀) = lim_h→0 [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h

Nếu giới hạn này tồn tại, hàm số f(x) được gọi là khả vi tại x₀.

2. Ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm

Ý nghĩa hình học: Đạo hàm f'(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x₀.

Ý nghĩa vật lý: Trong vật lý, đạo hàm biểu thị vận tốc tức thời khi hàm số mô tả quãng đường đi được theo thời gian.

3. Các quy tắc tính đạo hàm

Chương này giới thiệu các quy tắc tính đạo hàm cơ bản, giúp đơn giản hóa quá trình tính đạo hàm của các hàm số phức tạp:

Đạo hàm của hàm số lũy thừa: (xⁿ)' = nx^n-1
Đạo hàm của hàm số lượng giác: (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x, (tan x)' = 1/cos² x
Đạo hàm của hàm số mũ và logarit: (e^x)' = e^x, (ln x)' = 1/x
Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích và thương: Các quy tắc này cho phép tính đạo hàm của các hàm số được tạo thành từ các hàm số đơn giản bằng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia.

4. Đạo hàm của hàm hợp

Nếu y = f(u) và u = g(x), thì đạo hàm của y theo x được tính bằng quy tắc chuỗi:

dy/dx = (dy/du) * (du/dx)

5. Ứng dụng của đạo hàm

Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:

Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm được sử dụng để xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số, giúp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số: Đạo hàm giúp xác định các khoảng tăng, giảm của hàm số, giúp vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.
Giải các bài toán tối ưu hóa: Đạo hàm được sử dụng để giải các bài toán tối ưu hóa trong kinh tế, kỹ thuật và các lĩnh vực khác.

6. Bài tập minh họa

Dưới đây là một số bài tập minh họa về đạo hàm:

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x - 1.
Bài 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = sin(2x).
Bài 3: Xác định các điểm cực trị của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

7. Lời khuyên khi học chương Đạo hàm

Nắm vững định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm.
Thuộc các quy tắc tính đạo hàm cơ bản.
Luyện tập giải nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm toán học để kiểm tra kết quả.

Kết luận

Chương VII. Đạo hàm là một chương quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong chương này sẽ giúp bạn có nền tảng vững chắc để học các chương trình giải tích cao hơn. Chúc bạn học tập tốt!