Bài 10 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về phép biến hình để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm về phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 10 trang 128, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) với \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), tam giác \(SA{\rm{D}}\) đều. \(M\) là điểm trên cạnh \(AB\), \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(M\) và \(\left( \alpha \right)\parallel \left( {SAD} \right)\) cắt \(CD,SC,SB\) lần lượt tại \(N,P,Q\).
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) với \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), tam giác \(SA{\rm{D}}\) đều. \(M\) là điểm trên cạnh \(AB\), \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(M\) và \(\left( \alpha \right)\parallel \left( {SAD} \right)\) cắt \(CD,SC,SB\) lần lượt tại \(N,P,Q\).
a) Chứng minh rằng \(MNPQ\) là hình thang cân.
b) Đặt \(AM = x\), tính diện tích \(MNPQ\) theo \(a\) và \(x\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các định lí:
‒ Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đổi một song song.
‒ Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song với nhau. Nếu \(\left( R \right)\) cắt \(\left( P \right)\) thì cắt \(\left( Q \right)\) và hai giao tuyến của chúng song song.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = PQ\\\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel PQ\parallel BC\)
\( \Rightarrow MNPQ\) là hình thang (1).
\(\left. \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = MQ\\\left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SAB} \right) = SA\end{array} \right\} \Rightarrow MQ\parallel SA \Rightarrow \frac{{MQ}}{{SA}} = \frac{{BM}}{{AB}}\)
\(\left. \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = NP\\\left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = SD\end{array} \right\} \Rightarrow NP\parallel SD \Rightarrow \frac{{NP}}{{SD}} = \frac{{CN}}{{C{\rm{D}}}}\)
\(\left. \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = MN\\\left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = AD\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel AD\parallel BC \Rightarrow \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{CN}}{{C{\rm{D}}}}\)
\( \Rightarrow \frac{{MQ}}{{SA}} = \frac{{NP}}{{S{\rm{D}}}}\)
Mà tam giác \(SAD\) đều nên \(SA = S{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow MQ = NP\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow MNPQ\) là hình thang cân.
b) Gọi \(I = MQ \cap NP\). Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SA{\rm{D}}} \right) = SI\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = C{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow SI\parallel AB\parallel C{\rm{D}}\)
\(SI\parallel N{\rm{D}},S{\rm{D}}\parallel NI \Rightarrow SIN{\rm{D}}\) là hình bình hành \( \Rightarrow S{\rm{D}} = NI\)
\(SI\parallel MA,S{\rm{A}}\parallel MI \Rightarrow SIMA\) là hình bình hành \( \Rightarrow S{\rm{A}} = MI\)
Xét tam giác \(IMN\) và tam giác \(SAD\) có: \(MN\parallel A{\rm{D,}}MI\parallel SA,NI\parallel S{\rm{D}},MN = A{\rm{D}}\)
tam giác \(IMN\) là tam giác đều cạnh \(a\).
\(\begin{array}{l}SI\parallel AB \Rightarrow \frac{{SI}}{{BM}} = \frac{{IQ}}{{QM}} \Leftrightarrow \frac{{SI}}{{BM + SI}} = \frac{{IQ}}{{QM + IQ}} \Leftrightarrow \frac{{SI}}{{BM + MA}} = \frac{{IQ}}{{QM + IQ}}\\ \Leftrightarrow \frac{{SI}}{{AB}} = \frac{{IQ}}{{MI}} \Leftrightarrow IQ = \frac{{SI.MI}}{{AB}} = \frac{{x.a}}{a} = x\end{array}\)
\({S_{IMN}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4},{S_{IPQ}} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {S_{MNPQ}} = {S_{IMN}} - {S_{IPQ}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} - \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {{a^2} - {x^2}} \right)\)
Bài 10 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về các phép biến hình. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản và phương pháp giải quyết.
Bài 10 yêu cầu học sinh thực hiện các phép biến hình trên một hình phẳng cho trước. Cụ thể, bài tập có thể yêu cầu:
Để giải Bài 10 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau:
Ví dụ: Cho điểm A(1; 2) và phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến đó.
Giải:
Áp dụng công thức phép tịnh tiến, ta có:
x' = x + vx = 1 + 3 = 4
y' = y + vy = 2 + (-1) = 1
Vậy, tọa độ điểm A' là (4; 1).
Khi giải Bài 10 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo, cần lưu ý những điều sau:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về các phép biến hình, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo và các tài liệu tham khảo khác.
Bài 10 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các phép biến hình và ứng dụng của chúng trong thực tế. Bằng cách nắm vững kiến thức cơ bản, áp dụng phương pháp giải phù hợp và rèn luyện thường xuyên, các em có thể giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.
