Bài 3. Hàm số liên tục

Bài 3. Hàm số liên tục - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài 3 trong chương trình Toán 11 tập 1, sách Chân trời sáng tạo, tập trung vào một khái niệm nền tảng của giải tích: hàm số liên tục. Hiểu rõ về tính liên tục của hàm số là vô cùng quan trọng, không chỉ cho việc học tập ở bậc trung học phổ thông mà còn là nền tảng cho các môn học nâng cao như giải tích và các ứng dụng của nó.

1. Khái niệm hàm số liên tục tại một điểm

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

1. Hàm số f(x) xác định tại x₀, tức là f(x₀) có nghĩa.
2. Tồn tại giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀, ký hiệu là lim_x→x0 f(x).
3. Giá trị của hàm số tại x₀ bằng giới hạn của nó tại x₀, tức là f(x₀) = lim_x→x0 f(x).

Nếu một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn, hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x₀.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó. Tương tự, hàm số f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu nó liên tục trên khoảng (a, b) và liên tục phải từ bên phải tại a và liên tục trái tại b.

3. Các tính chất của hàm số liên tục

• Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.
• Thương của hai hàm số liên tục (với mẫu số khác 0) là một hàm số liên tục.
• Hàm hợp của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.

4. Ứng dụng của hàm số liên tục

Tính liên tục của hàm số có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:

• Giải phương trình: Định lý về giá trị trung gian cho phép ta kết luận về sự tồn tại của nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên một khoảng nếu f(x) liên tục trên khoảng đó và đổi dấu tại hai đầu mút của khoảng.
• Tính giới hạn: Tính liên tục giúp đơn giản hóa việc tính giới hạn của hàm số.
• Ứng dụng trong vật lý: Mô tả các hiện tượng vật lý liên tục như chuyển động, nhiệt độ, áp suất.

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Xét hàm số f(x) = x² + 1. Chứng minh rằng hàm số này liên tục tại mọi điểm trên R.

Lời giải: Hàm số f(x) = x² + 1 là một hàm đa thức, và các hàm đa thức liên tục trên R. Do đó, f(x) liên tục tại mọi điểm trên R.

Bài tập 2: Xét hàm số f(x) = 1/x. Hàm số này liên tục ở đâu?

Lời giải: Hàm số f(x) = 1/x không xác định tại x = 0. Do đó, hàm số này không liên tục tại x = 0. Tuy nhiên, hàm số này liên tục trên các khoảng (-∞, 0) và (0, +∞).

6. Lời khuyên khi học bài 3

• Nắm vững định nghĩa về hàm số liên tục tại một điểm và trên một khoảng.
• Hiểu rõ các điều kiện để hàm số liên tục.
• Luyện tập nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.
• Sử dụng các tính chất của hàm số liên tục để giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về Bài 3. Hàm số liên tục - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!