Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách giải mục 2 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{khi\,\,1 < x \le 2}\\k&{khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{khi\,\,1 < x \le 2}\\k&{khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.\).
a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\).
b) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\) và so sánh giá trị này với \(f\left( 2 \right)\).
c) Với giá trị nào của \(k\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k\)?
Phương pháp giải:
a) Bước 1: Tính \(f\left( {{x_0}} \right)\).
Bước 2: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) (nếu có).
Bước 3: Kết luận:
• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) thì hàm số liên tục tại điểm \({x_0}\).
• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)\) hoặc không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) thì hàm số không liên tục tại điểm \({x_0}\).
b) Áp dụng các công thức tính giới hạn của hàm số.
c) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) và giải phương trình \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k\).
Lời giải chi tiết:
a) Với mọi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\), ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + 1} \right) = {x_0} + 1\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mỗi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1} \right) = 2 + 1 = 3\).
\(f\left( 2 \right) = 2 + 1 = 3\).
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 1 + 1 = 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k \Leftrightarrow 2 = k \Leftrightarrow k = 2\)
Vậy với \(k = 2\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k\).
Xét tính liên tục của hàm số \(y = \sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} \) trên \(\left[ {1;2} \right]\).
Phương pháp giải:
Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
Bước 2: Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right)\) và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right)\) với \(f\left( a \right)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right)\) với \(f\left( b \right)\).
Bước 3: Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} \)
Với mọi \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\), ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {x - 1} + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2 - x} \\ & \,\,\,\,\, = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1} + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x} = \sqrt {{x_0} - 1} + \sqrt {2 - {x_0}} = f\left( {{x_0}} \right)\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right)\\ & = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 1} + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x} = \sqrt {1 - 1} + \sqrt {2 - 1} = 1 = f\left( 1 \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right)\\ & = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} 1} + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} x} = \sqrt {2 - 1} + \sqrt {2 - 2} = 1 = f\left( 2 \right)\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\).
Tại một xưởng sản xuất bột đã thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của \(x\) (kg) bột đã thạch anh được tính theo công thức sau:
\(P\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x + k}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.\) (\(k\) là một hãng số).
a) Với \(k = 0\), xét tính liên tục của hàm số \(P\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) Với giá trị nào của \(k\) thì hàm số \(P\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
Phương pháp giải:
a) Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm \({x_0} \in \left( {0;400} \right),{x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)\) và điểm \({x_0} = 400\), từ đó đưa ra kết luận.
b) Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm \({x_0} \in \left( {0;400} \right),{x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)\).
Bước 2: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right)\) và \(P\left( {400} \right)\).
Bước 3: Giải phương trình \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right) = P\left( {400} \right)\) để tìm \(k\).
a) Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm \({x_0} \in \left( {0;400} \right),{x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)\) và điểm \({x_0} = 400\), từ đó đưa ra kết luận.
b) Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm \({x_0} \in \left( {0;400} \right),{x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)\).
Bước 2: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right)\) và \(P\left( {400} \right)\).
Bước 3: Giải phương trình \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right) = P\left( {400} \right)\) để tìm \(k\).
Lời giải chi tiết:
a) Với \(k = 0\), hàm số có dạng \(P\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.\)
• Với mọi \({x_0} \in \left( {0;400} \right)\), ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {4,5x} \right) = 4,5\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = 4,5{x_0} = P\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số \(y = P\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {0;400} \right)\).
• Với mọi \({x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)\), ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {4x} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = 4{x_0} = P\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số \(y = P\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)\).
• \(f\left( {400} \right) = 4,5.400 = 1800\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} \left( {4x} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} x = 4.400 = 1600\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} \left( {4,5x} \right) = 4,5.\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} x = 4,5.400 = 1800\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} {\rm{ }}P\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right)\).
Vậy hàm số không liên tục tại điểm \({x_0} = 400\).
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) Xét hàm số \(P\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x + k}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.\) (\(k\) là một hãng số)
Hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( {0;400} \right)\) và \(\left( {400; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( {400} \right) = 4,5.400 = 1800\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} \left( {4x + k} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} k = 4.400 + k = 1600 + k\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} \left( {4,5x} \right) = 4,5.\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} x = 4,5.400 = 1800\).
Để hàm số \(y = P\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì hàm số \(y = P\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = 400\).
Để hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 400\) thì:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right) = f\left( {400} \right) \Leftrightarrow 1600 + k = 1800 \Leftrightarrow k = 200\)
Vậy với \(k = 200\) thì hàm số \(P\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Mục 2 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo thường xoay quanh các bài toán liên quan đến phép biến hình, đặc biệt là phép tịnh tiến, phép quay, và phép đối xứng. Việc nắm vững các khái niệm và tính chất của các phép biến hình này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học trong chương trình Toán 11.
Mục 2 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để tìm ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ v, ta sử dụng công thức:
A' = A + v
Trong đó, A' là ảnh của điểm A, A là tọa độ của điểm A, và v là tọa độ của vectơ tịnh tiến.
Áp dụng công thức, ta có:
A' = (1; 2) + (3; -1) = (4; 1)
Vậy, ảnh của điểm A(1; 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1) là A'(4; 1).
Để tìm tâm của phép quay, ta cần xác định trung điểm của đoạn thẳng AA' và đường trung trực của đoạn thẳng AA'.
Trung điểm M của AA' có tọa độ:
M = ((0 + 1)/2; (0 + 1)/2) = (1/2; 1/2)
Đường trung trực của AA' có phương trình:
x + y = 1
Tâm I của phép quay là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AA' tại M và đường thẳng x + y = 1. Việc giải hệ phương trình này sẽ cho ta tọa độ của tâm I.
Phép biến hình có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
