Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11 tập 2. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải quyết các bài tập trong mục 3 trang 67, 68, 69 của sách giáo khoa Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, chúng tôi đã biên soạn lời giải một cách cẩn thận, kèm theo các giải thích rõ ràng để giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Cho đường thẳng (a) vuông góc với mặt phẳng (left( Q right)).
Cho đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(a\) và cắt \(\left( Q \right)\) theo giao tuyến \(c\). Trong \(\left( Q \right)\) ta vẽ đường thẳng \(b\) vuông góc với \(c\).
Hỏi:
a) \(\left( P \right)\) có vuông góc với \(\left( Q \right)\) không?
b) Đường thẳng \(b\) vuông góc với \(\left( P \right)\) không?
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí 1: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}a \bot \left( Q \right)\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)\)
b) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a \bot \left( Q \right)\\b \subset \left( Q \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b\\b \bot c\\a,c \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow b \bot \left( P \right)\)
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( R \right)\). Gọi \(a\) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Lấy điểm \(M\) trong \(\left( R \right)\), vẽ hai đường thẳng \(MH\) và \(MK\) lần lượt vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Hỏi:
a) Hai đường thẳng \(MH\) và \(MK\) có nằm trong \(\left( R \right)\) không?
b) Đường thẳng \(a\) có vuông góc với \(\left( R \right)\) không?
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí 1: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}M \in \left( R \right)\\MH \bot \left( P \right)\\\left( R \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MH \subset \left( R \right)\\\left. \begin{array}{l}M \in \left( R \right)\\MK \bot \left( Q \right)\\\left( R \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MK \subset \left( R \right)\end{array}\)
b) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}MH \bot \left( P \right) \Rightarrow MH \bot a\\MK \bot \left( Q \right) \Rightarrow MK \bot a\\MH,MK \subset \left( R \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot \left( R \right)\)
Tứ diện \(ABCD\) có \(AB \bot \left( {BCD} \right)\). Trong tam giác \(BCD\) vẽ đường cao \(BE\) và \(DF\) cắt nhau tại \(O\). Trong mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) vẽ \({\rm{D}}K\) vuông góc với \(AC\) tại \(K\). Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ACD\). Chứng minh rằng:
a) \(\left( {ADC} \right) \bot \left( {ABE} \right)\) và \(\left( {ADC} \right) \bot \left( {DFK} \right)\);
b) \(OH \bot \left( {ADC} \right)\).
Phương pháp giải:
‒ Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
‒ Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
+ Cách 1: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.
+ Cách 2: sử dụng định lí: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AB \bot \left( {BC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow AB \bot C{\rm{D}}\\BE \bot CE\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {ABE} \right)\)
Lại có \(C{\rm{D}} \subset \left( {A{\rm{D}}C} \right)\)
Vậy \(\left( {ADC} \right) \bot \left( {ABE} \right)\)
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}AB \bot \left( {BC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow AB \bot DF\\DF \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow DF \bot \left( {ABC} \right)\\\left. \begin{array}{l} \Rightarrow DF \bot AC\\DK \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot \left( {DFK} \right)\end{array}\)
Lại có \(AC \subset \left( {A{\rm{D}}C} \right)\)
Vậy \(\left( {ADC} \right) \bot \left( {DFK} \right)\)
b) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}\left( {ADC} \right) \bot \left( {ABE} \right)\\\left( {ADC} \right) \bot \left( {DFK} \right)\\\left( {ABE} \right) \cap \left( {DFK} \right) = OH\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot \left( {ADC} \right)\)
Nêu cách đặt một quyển sách lên mặt bàn sao cho tất cả các trang sách đều vuông góc với mặt bàn.
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Lời giải chi tiết:
Ta mở quyển sách ra và đặt quyển sách lên mặt bàn sao cho hai mép dưới của bìa sách nằm trên mặt bàn.
Mục 3 của SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số. Cụ thể, các bài tập trang 67, 68, 69 xoay quanh việc tính đạo hàm của các hàm số đơn giản, áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp. Việc nắm vững các quy tắc này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn về đạo hàm trong chương trình học.
Các bài tập trang 67 thường yêu cầu học sinh tính đạo hàm của các hàm số có dạng đơn giản như y = xn, y = sinx, y = cosx, y = tanx,... Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nhớ các công thức đạo hàm cơ bản và áp dụng chúng một cách chính xác.
Ví dụ, để tính đạo hàm của hàm số y = x3, ta sử dụng công thức đạo hàm của lũy thừa: y' = 3x2.
Trang 68 giới thiệu các quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số. Các bài tập ở đây yêu cầu học sinh phải kết hợp các công thức đạo hàm cơ bản với các quy tắc này để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp hơn.
Ví dụ, để tính đạo hàm của hàm số y = x2 + sinx, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng: y' = 2x + cosx.
Trang 69 tập trung vào việc tính đạo hàm của hàm hợp. Đây là một trong những phần khó nhất của chương trình học về đạo hàm. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần hiểu rõ khái niệm hàm hợp và quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
Quy tắc đạo hàm của hàm hợp: Nếu y = f(u) và u = g(x), thì y' = f'(u) * g'(x).
Cho hàm số y = sin(x2). Tính đạo hàm của hàm số.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Việc hiểu rõ về đạo hàm không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn mở ra cánh cửa cho việc ứng dụng toán học vào các lĩnh vực khác của cuộc sống.
| Hàm số y | Đạo hàm y' |
|---|---|
| y = c (hằng số) | y' = 0 |
| y = xn | y' = nxn-1 |
| y = sinx | y' = cosx |
| y = cosx | y' = -sinx |
| y = tanx | y' = 1/cos2x |
| y = cotx | y' = -1/sin2x |
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 3 trang 67, 68, 69 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
