Bài 4. Khoảng cách trong không gian

Bài 4. Khoảng cách trong không gian - Giải Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trong chương VIII của SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 đi sâu vào việc tính toán khoảng cách giữa các đối tượng hình học trong không gian ba chiều. Việc nắm vững các khái niệm và công thức liên quan đến khoảng cách là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong hình học không gian.

1. Khái niệm cơ bản về khoảng cách trong không gian

Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm đó. Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A(x₁, y₁, z₁) và B(x₂, y₂, z₂) được cho bởi:

AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 được tính theo công thức:

d(M, (P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d₁ và d₂, ta thực hiện các bước sau:

1. Chọn một điểm M thuộc d₁.
2. Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng d₂.

4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng, gọi là u và v.
2. Tính vectơ n = u x v (tích có hướng của u và v).
3. Chọn một điểm M thuộc d₁ và một điểm N thuộc d₂.
4. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng theo công thức: h = |MN . n| / ||n||

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6).

Giải:

AB = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²) = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm M(0, 0, 0) đến mặt phẳng (P): 2x + 3y - z + 1 = 0.

Giải:

d(M, (P)) = |2(0) + 3(0) - (0) + 1| / √(2² + 3² + (-1)²) = 1 / √14 = √14 / 14

6. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm C(-1, 0, 2) và D(3, -2, 1).
• Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm E(1, 1, 1) đến mặt phẳng (Q): x - y + z - 2 = 0.
• Bài 3: Cho hai đường thẳng song song d₁ và d₂. Tìm khoảng cách giữa chúng.

7. Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán về khoảng cách trong không gian, cần chú ý:

• Xác định đúng các điểm, mặt phẳng và đường thẳng.
• Sử dụng đúng công thức tính khoảng cách.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã hiểu rõ hơn về cách tính khoảng cách trong không gian. Chúc bạn học tốt!