Bài viết này cung cấp đầy đủ và chi tiết lý thuyết về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúng tôi sẽ trình bày các định nghĩa, tính chất, công thức và phương pháp giải bài tập liên quan.
Giaibaitoan.com tự hào là nền tảng học toán online uy tín, giúp học sinh nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong học tập.
1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng \({90^0}\).
1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng \({90^0}\).
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Chú ý:
a) Góc \(\alpha \) giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thỏa mãn \({0^0} \le \alpha \le {90^0}\).
b) Nếu đường thẳng a nằm trong (P) hoặc a song song với (P) thì \(\left( {a,\left( P \right)} \right) = {0^0}\).
2. Góc nhị diện và góc phẳng nhị diện
Góc nhị diện
Cho hai nửa mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{Q_1}} \right)\) có chung bờ là đường thẳng d. Hình tạo bởi \(\left( {{P_1}} \right)\), \(\left( {{Q_1}} \right)\) và d được gọi là góc nhị diện tạo bởi \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{Q_1}} \right)\), kí hiệu \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]\).
Hai nửa mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\), \(\left( {{Q_1}} \right)\) gọi là hai mặt của nhị diện và d gọi là cạnh của nhị diện.
Chú ý:
a) Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d tạo thành bốn góc nhị diện.
b) Góc nhị diện \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]\) còn được kí hiệu là \(\left[ {M,d,N} \right]\) với M, N tương ứng thuộc hai nửa mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{Q_1}} \right)\).
Góc phẳng nhị diện
Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện, có hai cạnh lần lượt nằm trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện.
Chú ý:
a) Đối với một góc nhị diện, các góc phẳng nhị diện đều bằng nhau.
b) Nếu mặt phẳng (R) vuông góc với cạnh d của góc nhị diện và cắt hai mặt \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{Q_1}} \right)\) của góc nhị diện theo hai nửa đường thẳng Ou và Ov thì \(\widehat {uOv}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện tạo bởi \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{Q_1}} \right)\).
c) Góc nhị diện có góc phẳng nhị diện là góc vuông được gọi là góc nhị diện vuông.
d) Số đo góc phẳng nhị diện được gọi là số đo góc nhị diện.
e) Số đo góc nhị diện nhận giá trị từ \({0^0}\) đến \({180^0}\).
Trong chương trình Hình học không gian lớp 11, việc nắm vững kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện là vô cùng quan trọng. Đây là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các chương trình học tiếp theo.
1. Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của d trên mặt phẳng (P). Góc này luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90°.
2. Cách xác định góc:
3. Tính chất:
1. Định nghĩa: Góc nhị diện là hình tạo bởi hai nửa mặt phẳng có chung một đường thẳng. Đường thẳng chung đó gọi là cạnh của góc nhị diện, còn hai nửa mặt phẳng gọi là hai mặt của góc nhị diện.
2. Cách đo góc nhị diện: Góc nhị diện được đo bằng góc giữa hai đường thẳng vuông góc với cạnh của góc nhị diện, nằm trong hai nửa mặt phẳng khác nhau.
3. Góc nhị diện bằng 90°: Hai mặt phẳng tạo thành góc nhị diện bằng 90° được gọi là hai mặt phẳng vuông góc.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).
Giải:
Vì SO vuông góc với (ABCD) nên SO vuông góc với AO. Do đó, góc SAO là góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD). Ta có tan SAO = SO/AO. Từ đó, tính được góc SAO.
Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo đường thẳng d. Trên (P) có điểm A, trên (Q) có điểm B sao cho AB vuông góc với d. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Giải:
Vì AB vuông góc với d nên AB là đường vuông góc chung của hai mặt phẳng (P) và (Q). Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa AB và một đường thẳng bất kỳ nằm trong (Q) và vuông góc với d.
Việc hiểu rõ các định nghĩa, tính chất và phương pháp giải bài tập liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện là rất quan trọng. Các em học sinh cần luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải các bài toán thực tế.
Ngoài ra, cần chú ý đến việc vẽ hình chính xác và sử dụng các công thức một cách linh hoạt để đạt được kết quả tốt nhất.
Bài viết này đã trình bày chi tiết lý thuyết về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán liên quan.
