Bài 5. Phép chiếu song song

Bài 5 trong chương trình Toán 11, thuộc sách Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc nghiên cứu về phép chiếu song song. Đây là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều.

1. Khái niệm phép chiếu song song

Phép chiếu song song là một phép biến hình trong đó mỗi điểm của hình bị chiếu lên một điểm trên một mặt phẳng sao cho các đường thẳng nối các điểm gốc và các điểm ảnh song song với nhau. Nói cách khác, phép chiếu song song bảo toàn tính song song của các đường thẳng.

2. Các loại phép chiếu song song

Phép chiếu vuông góc: Các đường thẳng nối các điểm gốc và các điểm ảnh vuông góc với mặt phẳng chiếu.
Phép chiếu xiên: Các đường thẳng nối các điểm gốc và các điểm ảnh không vuông góc với mặt phẳng chiếu.

3. Tính chất của phép chiếu song song

Phép chiếu song song có những tính chất quan trọng sau:

Bảo toàn tính thẳng của đường thẳng.
Bảo toàn tính song song của đường thẳng.
Bảo toàn tỷ số độ dài trên một đường thẳng.
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.

4. Ứng dụng của phép chiếu song song

Phép chiếu song song có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Vẽ kỹ thuật: Sử dụng phép chiếu vuông góc để biểu diễn các vật thể ba chiều trên mặt phẳng.
Bản đồ: Sử dụng phép chiếu bản đồ để biểu diễn bề mặt Trái Đất trên mặt phẳng.
Thiết kế đồ họa: Sử dụng phép chiếu song song để tạo ra các hiệu ứng hình ảnh ba chiều.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD. Hãy xác định ảnh của đỉnh S và mặt phẳng (ABCD) qua phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng đáy ABCD.

Giải: Ảnh của đỉnh S qua phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (ABCD) là chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABCD). Ảnh của mặt phẳng (ABCD) qua phép chiếu vuông góc là chính nó.

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng song song a và b. Hãy chứng minh rằng ảnh của a và b qua phép chiếu song song cũng là hai đường thẳng song song.

Giải: Vì a và b song song, nên tồn tại một mặt phẳng (P) chứa cả a và b. Khi chiếu a và b lên mặt phẳng chiếu theo phương của một đường thẳng d nằm trong (P), ảnh của a và b sẽ là hai đường thẳng song song.