Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Trong hình học, đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến, và chúng đồng quy tại một điểm đặc biệt gọi là trọng tâm của tam giác.

I. Lý thuyết cơ bản về đường trung tuyến và trọng tâm

1. Đường trung tuyến:

• Định nghĩa: Đường trung tuyến của tam giác ABC là đoạn thẳng AM, trong đó M là trung điểm của cạnh BC.
• Ký hiệu: AM là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A.

2. Trọng tâm:

• Định nghĩa: Giao điểm của ba đường trung tuyến của một tam giác được gọi là trọng tâm của tam giác đó.
• Ký hiệu: G là trọng tâm của tam giác ABC.
• Tính chất: Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn thẳng, với đoạn thẳng từ đỉnh đến trọng tâm dài gấp đôi đoạn thẳng từ trọng tâm đến trung điểm cạnh đối diện. (AG = 2GM)

II. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Tính chất quan trọng nhất của ba đường trung tuyến là chúng đồng quy tại một điểm, đó chính là trọng tâm của tam giác. Điều này có nghĩa là ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC cùng giao nhau tại một điểm G.

III. Chứng minh tính chất ba đường trung tuyến đồng quy

Có nhiều cách để chứng minh tính chất này, một trong những cách phổ biến nhất là sử dụng phương pháp tọa độ. Tuy nhiên, trong chương trình Toán 7, thường sử dụng phương pháp hình học để chứng minh.

Ví dụ chứng minh:

Cho tam giác ABC, AM và BN là hai đường trung tuyến. Gọi G là giao điểm của AM và BN.

1. Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC.
2. Chứng minh rằng CG là đường trung tuyến thứ ba của tam giác ABC.

IV. Bài tập áp dụng và ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có trung điểm D của BC, E của AC, F của AB. Gọi G là giao điểm của AD và BE. Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC.

Bài tập 2: Trong tam giác ABC, cho AD là đường trung tuyến. Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh rằng BM = MC.

V. Mở rộng và liên hệ thực tế

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có ứng dụng rộng rãi trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như kiến trúc, xây dựng, và hàng hải. Ví dụ, trong kiến trúc, việc xác định trọng tâm của một cấu trúc giúp đảm bảo sự cân bằng và ổn định của công trình.

VI. Lời khuyên khi học bài

Để nắm vững kiến thức về tính chất ba đường trung tuyến của tam giác, bạn nên:

• Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của đường trung tuyến và trọng tâm.
• Luyện tập các bài tập chứng minh và áp dụng tính chất.
• Vẽ hình minh họa để trực quan hóa các khái niệm.
• Tham khảo các tài liệu học tập và nguồn thông tin trực tuyến.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ hiểu rõ hơn về Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - SGK Toán 7 - Cánh diều và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc bạn học tập tốt!