Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 15 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc xây dựng và ứng dụng phương trình đường thẳng trong không gian. Đây là một chủ đề quan trọng trong hình học không gian, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm về vectơ, điểm, và các phép toán liên quan.

I. Khái niệm cơ bản về đường thẳng trong không gian

Một đường thẳng trong không gian có thể được xác định bởi một điểm và một vectơ chỉ phương. Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ song song với đường thẳng đó. Phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

x = x₀ + at

y = y₀ + bt

z = z₀ + ct

Trong đó:

(x₀, y₀, z₀) là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng.
(a, b, c) là tọa độ của một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
t là tham số thực.

II. Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian

Ngoài phương trình tham số, đường thẳng trong không gian còn có thể được biểu diễn bằng phương trình chính tắc:

(x - x₀) / a = (y - y₀) / b = (z - z₀) / c

Phương trình này chỉ có ý nghĩa khi a, b, c khác 0.

III. Quan hệ giữa các đường thẳng trong không gian

Có ba trường hợp xảy ra giữa hai đường thẳng trong không gian:

Hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của chúng cùng phương và không có điểm chung.
Hai đường thẳng cắt nhau: Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi chúng có một điểm chung và vectơ chỉ phương của chúng không cùng phương.
Hai đường thẳng chéo nhau: Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không song song và không cắt nhau.

IV. Bài tập minh họa

Bài 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ chỉ phương a = (2, -1, 1).

Giải: Phương trình tham số của đường thẳng là:

x = 1 + 2t

y = 2 - t

z = 3 + t

Bài 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

d₁: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + t

d₂: x = 2 - s, y = 1 + s, z = 4 - s

Giải: Để tìm giao điểm, ta giải hệ phương trình:

1 + t = 2 - s

2 - t = 1 + s

3 + t = 4 - s

Giải hệ phương trình này, ta tìm được t = 1 và s = 0. Thay vào phương trình của d₁ hoặc d₂, ta được giao điểm là (2, 1, 4).

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức là một nguồn tài liệu hữu ích. Ngoài ra, các em có thể tìm kiếm thêm các bài tập trực tuyến hoặc tham gia các khóa học luyện thi THPT Quốc gia.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!