Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong chương 1 của sách Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo tập trung vào một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm: tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số. Việc nắm vững kiến thức này không chỉ quan trọng cho việc giải các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác.

I. Khái niệm về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Để hiểu rõ về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

• Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên một khoảng (a, b): Là giá trị M sao cho f(x) ≤ M với mọi x thuộc (a, b).
• Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên một khoảng (a, b): Là giá trị m sao cho f(x) ≥ m với mọi x thuộc (a, b).
• Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) tại một điểm x₀: Là giá trị f(x₀) sao cho f(x₀) ≥ f(x) với mọi x trong lân cận của x₀.
• Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) tại một điểm x₀: Là giá trị f(x₀) sao cho f(x₀) ≤ f(x) với mọi x trong lân cận của x₀.

II. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) trên một khoảng (a, b), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm f'(x).
2. Tìm các điểm dừng của hàm số (các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không tồn tại).
3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm dừng và tại các mút của khoảng (a, b).
4. So sánh các giá trị đã tính để tìm ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a, b).

III. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng [-1, 3].

1. Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x.
2. Tìm điểm dừng: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
3. Tính giá trị hàm số tại điểm dừng và mút khoảng:
• f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² + 2 = -2
• f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2
• f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = -2
• f(3) = 3³ - 3(3)² + 2 = 2
4. So sánh: Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng [-1, 3] là 2 (tại x = 0 và x = 3). Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng [-1, 3] là -2 (tại x = -1 và x = 2).

IV. Lưu ý quan trọng

Khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, cần lưu ý:

• Kiểm tra xem hàm số có liên tục trên khoảng đang xét hay không.
• Xem xét các điểm mà đạo hàm không tồn tại (ví dụ: điểm góc, điểm nhọn).
• Đảm bảo rằng các điểm mút của khoảng cũng được tính đến.

V. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = x² - 4x + 3 trên khoảng [0, 4].
• Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = sin(x) trên khoảng [0, π].

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Chúc các em học tập tốt!