Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Toán 12 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong chương trình Toán 12, chủ đề Giá trị lớn nhất (GTLN) và Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số đóng vai trò quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải bài tập và các ví dụ minh họa, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.

Giaibaitoan.com xin giới thiệu tài liệu học tập chi tiết, được biên soạn theo chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo, giúp các em học sinh dễ dàng tiếp thu và áp dụng kiến thức vào thực tế.

1. Định nghĩa Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

1. Định nghĩa

Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) \( \le \) M với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f({x_0})\) = M.

Kí hiệu M = \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc M = \(\mathop {\max }\limits_D f(x)\)

Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) \( \ge \) m với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f({x_0})\) = m.

Kí hiệu m = \(\mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc m = \(\mathop {\min }\limits_D f(x)\)

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Các bước tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n} \in (a;b)\), tại đó f’(x) = 0 hoặc không tồn tại
Tính \(f({x_1}),f({x_2}),...,f({x_n}),f(a)\) và \(f(b)\)
Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

M = \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)\); m = \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)\)

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\)

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 8x = 4x({x^2} - 2);y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \sqrt 2 \) (vì \(x \in \left[ {0;4} \right]\))

y(0) = 3; y(4) = 195; y(\(\sqrt 2 \)) = -1

Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(4) = 195\); \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(\sqrt 2 ) = - 1\)

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo 1

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo trong chuyên mục toán lớp 12 trên nền tảng môn toán! Bộ bài tập lý thuyết toán thpt, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chủ đề Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của hàm số là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12, đặc biệt là trong chương trình Chân trời sáng tạo. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan là điều cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.

1. Khái niệm cơ bản

Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số f(x) trên một tập hợp D là giá trị M sao cho f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M.

Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số f(x) trên một tập hợp D là giá trị m sao cho f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m.

2. Điều kiện để hàm số đạt GTLN, GTNN trên một khoảng đóng [a, b]

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì:

f(x) đạt GTLN và GTNN trên [a, b]
GTLN và GTNN có thể đạt tại các điểm:
- Các điểm thuộc miền xác định của hàm số
- Các điểm mà f'(x) = 0 (điểm dừng)
- Các điểm mà f'(x) không tồn tại
- Các đầu mút của đoạn [a, b]

3. Phương pháp giải bài toán tìm GTLN, GTNN

Xác định tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm f'(x).
Tìm các điểm dừng (f'(x) = 0) và các điểm mà f'(x) không tồn tại.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm dừng, điểm mà f'(x) không tồn tại và các đầu mút của khoảng (nếu có).
So sánh các giá trị tìm được để xác định GTLN và GTNN.

4. Các dạng bài tập thường gặp

Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng đóng.

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1, 3].

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng mở.

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x² - 4x + 3 trên khoảng (0, 4).

Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số có điều kiện.

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x, y) = x + y trên đường thẳng x + y = 1.

5. Lưu ý quan trọng

Luôn kiểm tra điều kiện của bài toán để đảm bảo tính chính xác của kết quả.
Sử dụng các phương pháp giải đạo hàm một cách linh hoạt và hiệu quả.
Thực hành nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết bài toán.

6. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = 2x² - 8x + 5 trên đoạn [0, 4].

Giải:

f'(x) = 4x - 8
f'(x) = 0 ⇔ 4x - 8 = 0 ⇔ x = 2
Tính f(0) = 5, f(2) = -3, f(4) = 5
Vậy GTLN của f(x) trên [0, 4] là 5, đạt tại x = 0 và x = 4. GTNN của f(x) trên [0, 4] là -3, đạt tại x = 2.

Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = sinx trên khoảng (0, π).

Giải:

f'(x) = cosx
f'(x) = 0 ⇔ cosx = 0 ⇔ x = π/2
Tính f(π/2) = 1
Vì lim_x→0+ f(x) = 0 và lim_x→π- f(x) = 0 nên GTNN của f(x) trên (0, π) là 0. GTLN của f(x) trên (0, π) là 1, đạt tại x = π/2.

Hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải bài tập được trình bày trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán liên quan đến chủ đề Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo.