Bài 1. Nguyên hàm

Bài 1. Nguyên hàm - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài 1 trong chương Nguyên hàm của SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc giới thiệu khái niệm nguyên hàm, các tính chất cơ bản và phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản. Đây là nền tảng quan trọng để học sinh tiếp cận tích phân, một trong những chủ đề cốt lõi của giải tích.

1. Khái niệm Nguyên hàm

Một hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

2. Các Tính chất của Nguyên hàm

Tính chất 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) với mọi hằng số C.
Tính chất 2: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
Tính chất 3: ∫k.f(x)dx = k∫f(x)dx (với k là hằng số)

3. Nguyên hàm của một số hàm số cơ bản

Dưới đây là bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

Hàm số f(x)	Nguyên hàm F(x)
xⁿ (n ≠ -1)	(xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
e^x	e^x + C
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C

4. Phương pháp tìm Nguyên hàm

Để tìm nguyên hàm của một hàm số, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Sử dụng bảng nguyên hàm: Tìm nguyên hàm của hàm số bằng cách đối chiếu với bảng nguyên hàm đã biết.
Sử dụng tính chất của nguyên hàm: Biến đổi hàm số về dạng tổng hoặc hiệu của các hàm số có nguyên hàm đã biết, sau đó áp dụng các tính chất để tìm nguyên hàm.
Sử dụng phương pháp đổi biến số: Đặt u là một hàm của x, sau đó tính du và biến đổi tích phân về dạng đơn giản hơn.
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: Áp dụng công thức ∫u dv = uv - ∫v du để tính tích phân.

5. Bài tập Vận dụng

Hãy thử giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về nguyên hàm:

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x + 1
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin(2x)
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1/(x+1)

6. Lưu ý quan trọng

Khi tìm nguyên hàm, đừng quên thêm hằng số tích phân C. Việc bỏ qua C có thể dẫn đến kết quả sai.

Nguyên hàm là một khái niệm quan trọng trong giải tích, và việc nắm vững nó sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về tích phân và các ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Chúc bạn học tập tốt!