Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12 tập 2 theo chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 8,9 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự học Toán đôi khi gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giaibaitoan.com đã biên soạn lời giải chi tiết, kèm theo các bước giải thích rõ ràng, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) với \(x \ne 0\).
a) Tìm đạo hàm của \(F\left( x \right)\).
b) Từ đó, tìm \(\int {\frac{1}{x}dx} \).
Phương pháp giải:
a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\). Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\), sau đó tính đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trong từng trường hợp trên.
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\).
Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là: \(F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\).
Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\).
Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) là: \(F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\).
Vậy ta có đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\) là \(F'\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
b) Từ câu a, ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
Do đó \(\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} \)
Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Giải thích tại sao \(\int {0dx = C} \) và \(\int {1dx = x + C} \)
b) Tìm đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) \(\left( {\alpha \ne - 1} \right)\). Từ đó, tìm \(\int {{x^\alpha }dx} \).
Phương pháp giải:
a) Để chứng minh \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), ta cần chỉ ra rằng \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\), với lần lượt \(F\left( x \right) = C\) và \(F\left( x \right) = x + C\).
b) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Do \(C' = 0\) nên hàm số \(F\left( x \right) = C\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 0\). Như vậy \(\int {0dx = C} \).
Do \(x' = 1\) nên hàm số \(F\left( x \right) = x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1\). Như vậy \(\int {1dx = x + C} \).
b) Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right){x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} = {x^\alpha }\). Vậy ta có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) \(\left( {\alpha \ne - 1} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^\alpha }\). Do đó \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm:
a) \(\int {{x^4}dx} \).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \).
c) \(\int {\sqrt x dx} \)\(\left( {x > 0} \right)\).
Phương pháp giải:
Biến đổi các biểu thức về dạng \(\int {{x^\alpha }dx} \) và sử dụng công thức \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {{x^4}dx} = \frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} + C = \frac{{{x^5}}}{5} + C\).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = \int {{x^{ - 3}}dx = \frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + C = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C} \).
c) \(\int {\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = \sin x\), \(y = - \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = - \cot x\).
b) Từ đó, tìm \(\int {\cos xdx} \), \(\int {\sin x} dx\), \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \), \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng các công thức đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số \(y = \sin x\), \(y = - \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = - \cot x\).
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\)
\(\left( { - \cos x} \right)' = - \left( { - \sin x} \right) = \sin x\)
\(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
\(\left( { - \cot x} \right)' = - \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)
b) Từ câu a, ta có:
\(\int {\cos xdx} = \sin x + C\)
\(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\)
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \)
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C} \)
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\) thoả mãn \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\int {\cos xdx} = \sin x + C\), sau đó sử dụng điều kiện \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) để tìm hằng số \(C\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\cos xdx} = \sin x + C\)
Suy ra \(F\left( 0 \right) = \sin 0 + C = C\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sin \frac{\pi }{2} + C = 1 + C\)
Do \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(C + \left( {1 + C} \right) = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{2}\).
Vậy \(F\left( x \right) = \sin x - \frac{1}{2}\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 6 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = {e^x}\), \(y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\) với \(a > 0\), \(a \ne 1\).
b) Từ đó, tìm \(\int {{e^x}dx} \) và \(\int {{a^x}dx} \) (\(a > 0\), \(a \ne 1\)).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số \(y = {e^x}\), \(y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\)(\(a > 0\), \(a \ne 1\)).
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(\left( {{e^x}} \right)' = {e^x}\) và \(\left( {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \right)' = \frac{{{a^x}\ln a}}{{\ln a}} = {a^x}\).
b) Từ câu a, ta có:
\(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\)
\(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm
a) \(\int {{3^x}dx} \)
b) \(\int {{e^{2x}}dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức \(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\) và \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {{3^x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
b) \(\int {{e^{2x}}dx} = \int {{{\left( {{e^2}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {{e^2}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {{e^2}} \right)}} + C = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Giải thích tại sao \(\int {0dx = C} \) và \(\int {1dx = x + C} \)
b) Tìm đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) \(\left( {\alpha \ne - 1} \right)\). Từ đó, tìm \(\int {{x^\alpha }dx} \).
Phương pháp giải:
a) Để chứng minh \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), ta cần chỉ ra rằng \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\), với lần lượt \(F\left( x \right) = C\) và \(F\left( x \right) = x + C\).
b) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Do \(C' = 0\) nên hàm số \(F\left( x \right) = C\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 0\). Như vậy \(\int {0dx = C} \).
Do \(x' = 1\) nên hàm số \(F\left( x \right) = x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1\). Như vậy \(\int {1dx = x + C} \).
b) Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right){x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} = {x^\alpha }\). Vậy ta có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) \(\left( {\alpha \ne - 1} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^\alpha }\). Do đó \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm:
a) \(\int {{x^4}dx} \).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \).
c) \(\int {\sqrt x dx} \)\(\left( {x > 0} \right)\).
Phương pháp giải:
Biến đổi các biểu thức về dạng \(\int {{x^\alpha }dx} \) và sử dụng công thức \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {{x^4}dx} = \frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} + C = \frac{{{x^5}}}{5} + C\).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = \int {{x^{ - 3}}dx = \frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + C = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C} \).
c) \(\int {\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) với \(x \ne 0\).
a) Tìm đạo hàm của \(F\left( x \right)\).
b) Từ đó, tìm \(\int {\frac{1}{x}dx} \).
Phương pháp giải:
a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\). Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\), sau đó tính đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trong từng trường hợp trên.
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\).
Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là: \(F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\).
Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\).
Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) là: \(F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\).
Vậy ta có đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\) là \(F'\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
b) Từ câu a, ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
Do đó \(\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} \)
Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = \sin x\), \(y = - \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = - \cot x\).
b) Từ đó, tìm \(\int {\cos xdx} \), \(\int {\sin x} dx\), \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \), \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng các công thức đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số \(y = \sin x\), \(y = - \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = - \cot x\).
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\)
\(\left( { - \cos x} \right)' = - \left( { - \sin x} \right) = \sin x\)
\(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
\(\left( { - \cot x} \right)' = - \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)
b) Từ câu a, ta có:
\(\int {\cos xdx} = \sin x + C\)
\(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\)
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \)
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C} \)
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\) thoả mãn \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\int {\cos xdx} = \sin x + C\), sau đó sử dụng điều kiện \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) để tìm hằng số \(C\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\cos xdx} = \sin x + C\)
Suy ra \(F\left( 0 \right) = \sin 0 + C = C\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sin \frac{\pi }{2} + C = 1 + C\)
Do \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(C + \left( {1 + C} \right) = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{2}\).
Vậy \(F\left( x \right) = \sin x - \frac{1}{2}\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 6 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = {e^x}\), \(y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\) với \(a > 0\), \(a \ne 1\).
b) Từ đó, tìm \(\int {{e^x}dx} \) và \(\int {{a^x}dx} \) (\(a > 0\), \(a \ne 1\)).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số \(y = {e^x}\), \(y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\)(\(a > 0\), \(a \ne 1\)).
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(\left( {{e^x}} \right)' = {e^x}\) và \(\left( {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \right)' = \frac{{{a^x}\ln a}}{{\ln a}} = {a^x}\).
b) Từ câu a, ta có:
\(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\)
\(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm
a) \(\int {{3^x}dx} \)
b) \(\int {{e^{2x}}dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức \(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\) và \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {{3^x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
b) \(\int {{e^{2x}}dx} = \int {{{\left( {{e^2}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {{e^2}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {{e^2}} \right)}} + C = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C\).
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết hiệu quả các bài tập trong mục này, trước hết, bạn cần nắm vững lý thuyết cơ bản và các công thức liên quan. Việc hiểu rõ bản chất của vấn đề sẽ giúp bạn tiếp cận bài toán một cách logic và tìm ra lời giải chính xác.
Giả sử Mục 2 trang 8,9 tập trung vào chủ đề 'Đạo hàm của hàm số hợp'. Các bài tập trong mục này có thể yêu cầu:
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(x^2)
Bài 2: Tìm cực trị của hàm số y = x^3 - 3x + 2
Khi giải các bài tập về đạo hàm, bạn cần chú ý:
(Thêm một ví dụ phức tạp hơn để minh họa cách áp dụng kiến thức vào thực tế)
Việc giải các bài tập trong Mục 2 trang 8,9 SGK Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo đòi hỏi sự nắm vững kiến thức lý thuyết và kỹ năng giải toán. Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết và các ví dụ minh họa trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán này. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng của mình.
