Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 2 của giaibaitoan.com. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 trang 24, 25, 26 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn học Toán.
Tính thể tích hình khối
Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 25 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Một bình chứa nước có dạng như hình 11. Biết rằng khi nước ở trong bình có chiều cao \(x\) (dm) \(\left( {0 \le x \le 4} \right)\) thì mặt nước là hình vuông có cạnh \(\sqrt {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} \) (dm). Tính dung tích của bình.
Phương pháp giải:
Chọn trục \(Ox\) vuông góc với mặt đáy của bình sao cho đáy nhỏ, đáy to của bình vuông góc với \(Ox\) lần lượt tại \(x = 0\) và \(x = 4\)
Diện tích mặt nước ở chiều cao \(x\) là \(S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} } \right)^2} = 2 + \frac{{{x^2}}}{4}\)
Dung tích của bình là \(V = \int\limits_0^4 {S\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
Chọn trục \(Ox\) vuông góc với mặt đáy của bình sao cho đáy nhỏ, đáy to của bình vuông góc với \(Ox\) lần lượt tại \(x = 0\) và \(x = 4\)
Diện tích mặt nước ở chiều cao \(x\) là \(S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} } \right)^2} = 2 + \frac{{{x^2}}}{4}\)
Dung tích của bình là \(V = \int\limits_0^4 {S\left( x \right)dx} = \int\limits_0^4 {\left( {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} \right)dx} = \left. {\left( {2x + \frac{{{x^3}}}{{12}}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{40}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 6 trang 26 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 1 + \frac{1}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 2\) (hình 15). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\).
Phương pháp giải:
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\), với \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\), là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\) là:
\(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_1^2 {\left( {1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} = \pi \left. {\left( {x + 2\ln \left| x \right| - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^2 = \pi \left( {\frac{3}{2} + 2\ln 2} \right)\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian, cho hình chóp \(O.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(OA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(OA = h\). Đặt trục số \(Ox\) như hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \(\left( {0 < x \le h} \right)\), cắt hình chóp \(O.ABCD\) theo mặt cắt là hình vuông \(A'B'C'D'\). Kí hiệu \(S\left( x \right)\) là diện tích của hình vuông \(A'B'C'D'\).
a) Tính \(S\left( x \right)\) theo \(a\), \(h\) và \(x\).
b) Tính \(\int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} \) và so sánh với thể tích của khối chóp \(O.ABCD\).
Phương pháp giải:
a) Do \(A'B'C'D'\) là hình vuông, nên \(S\left( x \right) = A'D{'^2}\)
Tam giác \(OAD\) có \(AD\parallel A'D'\) nên \(\frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{A'D'}}{{AD}}\), từ đó tính được \(A'D'\), sau đó tính \(S\left( x \right)\).
b) Tính \(\int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} \) và thể tích khối chóp \(O.ABCD\) và so sánh các kết quả với nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Do \(A'B'C'D'\) là hình vuông, nên \(S\left( x \right) = A'D{'^2}\)
Tam giác \(OAD\) có \(AD\parallel A'D'\) nên \(\frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{A'D'}}{{AD}} \Rightarrow A'D' = \frac{{OA'.AD}}{{OA}} = \frac{{x.a}}{h}\)
Suy ra \(S\left( x \right) = A'D{'^2} = {\left( {\frac{{x.a}}{h}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}{x^2}\)
b) Ta có: \(\int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}\int\limits_0^h {{x^2}dx} = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}.\frac{{{h^3}}}{3} = \frac{{{a^2}h}}{3}\)
Thể tích khối chóp \(O.ABCD\) là \({V_{O.ABCD}} = \frac{1}{3}.{a^2}.h = \frac{{{a^2}h}}{3}\)
Như vậy \({V_{O.ABCD}} = \int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} \)
Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 25 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{2}x\), trục hoành và đường thẳng \(x = 4\) (hình 12a). Quay hình \(D\) xung quanh trục \(Ox\) thì được một khối nón, kí hiệu là \(N\). (hình 12b)
a) Cắt khối \(N\) bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \(\left( {0 \le x \le 4} \right)\) thì mặt cắt là hình gì? Tính diện tích \(S\left( x \right)\) của mặt cắt đó.
b) Sử dụng công thức tính thể tích hình khối, tính thể tích của khối nón \(N\).
Phương pháp giải:
a) Mặt cắt khi cắt khối nón \(N\) bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) là hình tròn. Tính bán kính của hình tròn, từ đó tính được diện tích \(S\left( x \right)\) của mặt cắt đó.
b) Công thức tính thể tích của khối nón \(N\) có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\): \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt cắt khi cắt khối nón \(N\) bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) là hình tròn. Ta nhận thấy rằng khi cắt khối nón \(N\) bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) thì bán kính mặt cắt sẽ là \(\frac{1}{2}x\).
Do đó diện tích của mặt cắt là \(S\left( x \right) = \pi .{\left( {\frac{1}{2}x} \right)^2} = \frac{\pi }{2}{x^2}\).
b) Khối nón \(N\) có bán kính đáy \(r = 2\) và chiều cao \(h = 4\) nên thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {.2^2}.4 = \frac{{16\pi }}{3}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2trang 27 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Sử dụng tích phân, tính thể tích khối nón có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\). (hình 16)
Phương pháp giải:
Chọn trục \(Ox\) và \(Oy\) như hình vẽ.
Khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi tam giác \(OAH\) quanh trục \(Ox\), ta sẽ được một khối nón có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\).
Hình phẳng \(D\) được giới hạn bởi đường thẳng \(OA\) có phương trình \(y = f\left( x \right) = ax + b\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = h\).
Thể tích của khối nón là \(V = \pi \int\limits_0^h {{f^2}\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
Chọn trục \(Ox\) và \(Oy\) như hình vẽ.
Khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi tam giác \(OAH\) quanh trục \(Ox\), ta sẽ được một khối nón có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\).
Hình phẳng \(D\) được giới hạn bởi đường thẳng \(OA\) có phương trình \(y = f\left( x \right) = ax + b\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = h\).
Đường thẳng \(OA\) đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right)\) và \(A\left( {h;r} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(OA\) là \(y = \frac{r}{h}x\).
Thể tích khối nón là:
\(V = \pi \int\limits_0^h {{{\left( {\frac{r}{h}x} \right)}^2}dx} = \pi \frac{{{r^2}}}{{{h^2}}}\int\limits_0^h {{x^2}dx} = \frac{{\pi {r^2}}}{{{h^2}}}.\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h = \frac{{\pi {r^2}}}{{{h^2}}}.\frac{{{h^3}}}{3} = \frac{{\pi {r^2}h}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian, cho hình chóp \(O.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(OA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(OA = h\). Đặt trục số \(Ox\) như hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \(\left( {0 < x \le h} \right)\), cắt hình chóp \(O.ABCD\) theo mặt cắt là hình vuông \(A'B'C'D'\). Kí hiệu \(S\left( x \right)\) là diện tích của hình vuông \(A'B'C'D'\).
a) Tính \(S\left( x \right)\) theo \(a\), \(h\) và \(x\).
b) Tính \(\int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} \) và so sánh với thể tích của khối chóp \(O.ABCD\).
Phương pháp giải:
a) Do \(A'B'C'D'\) là hình vuông, nên \(S\left( x \right) = A'D{'^2}\)
Tam giác \(OAD\) có \(AD\parallel A'D'\) nên \(\frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{A'D'}}{{AD}}\), từ đó tính được \(A'D'\), sau đó tính \(S\left( x \right)\).
b) Tính \(\int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} \) và thể tích khối chóp \(O.ABCD\) và so sánh các kết quả với nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Do \(A'B'C'D'\) là hình vuông, nên \(S\left( x \right) = A'D{'^2}\)
Tam giác \(OAD\) có \(AD\parallel A'D'\) nên \(\frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{A'D'}}{{AD}} \Rightarrow A'D' = \frac{{OA'.AD}}{{OA}} = \frac{{x.a}}{h}\)
Suy ra \(S\left( x \right) = A'D{'^2} = {\left( {\frac{{x.a}}{h}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}{x^2}\)
b) Ta có: \(\int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}\int\limits_0^h {{x^2}dx} = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}.\frac{{{h^3}}}{3} = \frac{{{a^2}h}}{3}\)
Thể tích khối chóp \(O.ABCD\) là \({V_{O.ABCD}} = \frac{1}{3}.{a^2}.h = \frac{{{a^2}h}}{3}\)
Như vậy \({V_{O.ABCD}} = \int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} \)
Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 25 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Một bình chứa nước có dạng như hình 11. Biết rằng khi nước ở trong bình có chiều cao \(x\) (dm) \(\left( {0 \le x \le 4} \right)\) thì mặt nước là hình vuông có cạnh \(\sqrt {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} \) (dm). Tính dung tích của bình.
Phương pháp giải:
Chọn trục \(Ox\) vuông góc với mặt đáy của bình sao cho đáy nhỏ, đáy to của bình vuông góc với \(Ox\) lần lượt tại \(x = 0\) và \(x = 4\)
Diện tích mặt nước ở chiều cao \(x\) là \(S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} } \right)^2} = 2 + \frac{{{x^2}}}{4}\)
Dung tích của bình là \(V = \int\limits_0^4 {S\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
Chọn trục \(Ox\) vuông góc với mặt đáy của bình sao cho đáy nhỏ, đáy to của bình vuông góc với \(Ox\) lần lượt tại \(x = 0\) và \(x = 4\)
Diện tích mặt nước ở chiều cao \(x\) là \(S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} } \right)^2} = 2 + \frac{{{x^2}}}{4}\)
Dung tích của bình là \(V = \int\limits_0^4 {S\left( x \right)dx} = \int\limits_0^4 {\left( {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} \right)dx} = \left. {\left( {2x + \frac{{{x^3}}}{{12}}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{40}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 25 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{2}x\), trục hoành và đường thẳng \(x = 4\) (hình 12a). Quay hình \(D\) xung quanh trục \(Ox\) thì được một khối nón, kí hiệu là \(N\). (hình 12b)
a) Cắt khối \(N\) bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \(\left( {0 \le x \le 4} \right)\) thì mặt cắt là hình gì? Tính diện tích \(S\left( x \right)\) của mặt cắt đó.
b) Sử dụng công thức tính thể tích hình khối, tính thể tích của khối nón \(N\).
Phương pháp giải:
a) Mặt cắt khi cắt khối nón \(N\) bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) là hình tròn. Tính bán kính của hình tròn, từ đó tính được diện tích \(S\left( x \right)\) của mặt cắt đó.
b) Công thức tính thể tích của khối nón \(N\) có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\): \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt cắt khi cắt khối nón \(N\) bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) là hình tròn. Ta nhận thấy rằng khi cắt khối nón \(N\) bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) thì bán kính mặt cắt sẽ là \(\frac{1}{2}x\).
Do đó diện tích của mặt cắt là \(S\left( x \right) = \pi .{\left( {\frac{1}{2}x} \right)^2} = \frac{\pi }{2}{x^2}\).
b) Khối nón \(N\) có bán kính đáy \(r = 2\) và chiều cao \(h = 4\) nên thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {.2^2}.4 = \frac{{16\pi }}{3}\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 6 trang 26 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 1 + \frac{1}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 2\) (hình 15). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\).
Phương pháp giải:
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\), với \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\), là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\) là:
\(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_1^2 {\left( {1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} = \pi \left. {\left( {x + 2\ln \left| x \right| - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^2 = \pi \left( {\frac{3}{2} + 2\ln 2} \right)\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2trang 27 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Sử dụng tích phân, tính thể tích khối nón có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\). (hình 16)
Phương pháp giải:
Chọn trục \(Ox\) và \(Oy\) như hình vẽ.
Khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi tam giác \(OAH\) quanh trục \(Ox\), ta sẽ được một khối nón có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\).
Hình phẳng \(D\) được giới hạn bởi đường thẳng \(OA\) có phương trình \(y = f\left( x \right) = ax + b\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = h\).
Thể tích của khối nón là \(V = \pi \int\limits_0^h {{f^2}\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
Chọn trục \(Ox\) và \(Oy\) như hình vẽ.
Khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi tam giác \(OAH\) quanh trục \(Ox\), ta sẽ được một khối nón có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\).
Hình phẳng \(D\) được giới hạn bởi đường thẳng \(OA\) có phương trình \(y = f\left( x \right) = ax + b\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = h\).
Đường thẳng \(OA\) đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right)\) và \(A\left( {h;r} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(OA\) là \(y = \frac{r}{h}x\).
Thể tích khối nón là:
\(V = \pi \int\limits_0^h {{{\left( {\frac{r}{h}x} \right)}^2}dx} = \pi \frac{{{r^2}}}{{{h^2}}}\int\limits_0^h {{x^2}dx} = \frac{{\pi {r^2}}}{{{h^2}}}.\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h = \frac{{\pi {r^2}}}{{{h^2}}}.\frac{{{h^3}}}{3} = \frac{{\pi {r^2}h}}{3}\)
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số. Đạo hàm đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự biến thiên của hàm số, tìm cực trị, và giải quyết nhiều bài toán thực tế. Việc nắm vững các công thức và quy tắc tính đạo hàm là vô cùng quan trọng.
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các quy tắc tính đạo hàm cơ bản như quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, và đạo hàm của hàm hợp. Cần chú ý đến việc xác định đúng các hàm số thành phần và áp dụng quy tắc đạo hàm một cách chính xác.
Bài tập này yêu cầu học sinh sử dụng định nghĩa đạo hàm để tính đạo hàm của hàm số tại một điểm cụ thể. Định nghĩa đạo hàm là: f'(x0) = limh→0 (f(x0 + h) - f(x0))/h. Việc tính toán giới hạn này đòi hỏi sự cẩn thận và chính xác.
Lưu ý: Trong một số trường hợp, có thể sử dụng quy tắc đạo hàm để tính đạo hàm trước, sau đó thay x = x0 vào để tìm giá trị đạo hàm tại điểm đó.
Bài tập này yêu cầu học sinh sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, tìm cực trị, và vẽ đồ thị hàm số. Cần phân tích dấu của đạo hàm để xác định tính chất của hàm số trên các khoảng khác nhau.
| Hàm số y = f(x) | Đạo hàm y' = f'(x) |
|---|---|
| C (hằng số) | 0 |
| xn | nxn-1 |
| sin x | cos x |
| cos x | -sin x |
| ex | ex |
| ln x | 1/x |
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 24, 25, 26 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
