Bài 3. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài 3. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

I. Giới thiệu chung

Trong chương trình Toán 12, việc làm quen với vectơ trong không gian và các phép toán trên chúng là vô cùng quan trọng. Bài 3 này đi sâu vào việc biểu diễn các phép toán vectơ bằng tọa độ, giúp chúng ta dễ dàng tính toán và chứng minh các tính chất hình học.

II. Nội dung chi tiết

1. Phép cộng và phép trừ vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂).

• Phép cộng: a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂)

• Phép trừ: a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂)

2. Phép nhân vectơ với một số thực

Cho vectơ a = (x; y; z) và một số thực k.

Phép nhân: ka = (kx; ky; kz)

3. Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂).

Tích vô hướng: a ⋅ b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

4. Ứng dụng của biểu thức tọa độ trong các phép toán vectơ

Biểu thức tọa độ giúp chúng ta:

• Tính độ dài của vectơ: |a| = √(x² + y² + z²)

• Tính góc giữa hai vectơ: cos(θ) = (a ⋅ b) / (|a| ⋅ |b|)

• Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: a ⊥ b khi và chỉ khi a ⋅ b = 0

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a + b và a ⋅ b.

Giải:

• a + b = (1 - 2; 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)

• a ⋅ b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0

Ví dụ 2: Tìm tọa độ của vectơ c biết rằng c vuông góc với cả a = (1; 1; 0) và b = (0; 1; 1).

Giải:

Gọi c = (x; y; z). Vì c vuông góc với a và b, ta có:

• c ⋅ a = x + y = 0

• c ⋅ b = y + z = 0

Từ đó, ta có y = -x và z = -y = x. Vậy c = (x; -x; x) = x(1; -1; 1). Có vô số vectơ c thỏa mãn, ví dụ c = (1; -1; 1).

IV. Bài tập luyện tập

1. Cho a = (2; -1; 3) và b = (1; 0; -2). Tính a - b và 3a.

2. Tìm góc giữa hai vectơ a = (1; 0; 0) và b = (0; 1; 0).

3. Tìm một vectơ c vuông góc với cả a = (1; 2; 1) và b = (0; 1; -1).

V. Kết luận

Bài 3 đã cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. Việc nắm vững những kiến thức này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong hình học không gian. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn.