Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo.

Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và công thức quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến vecto trong không gian, đặc biệt là các phép toán cộng, trừ, nhân với một số, tích vô hướng và tích có hướng.

Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto 1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vecto và tích của một số với một vecto

1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vecto và tích của một số với một vecto

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\). Ta có:

\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (x + x';y + y';z + z')\)
\(\overrightarrow a - \overrightarrow b = (x - x';y - y';z - z')\)
\(k\overrightarrow a = (kx;ky;kz)\) với k là một số thực

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\) được xác định bởi công thức \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\)

3. Vận dụng

a) Xác định tọa độ của vecto khi biết tọa độ điểm đầu và điểm cuối

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A({x_A};{y_A};{z_A}),B({x_B};{y_B};{z_B})\). Ta có:

\(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A})\)

b) Tọa độ trung điểm đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A({x_A};{y_A};{z_A}),B({x_B};{y_B};{z_B}),C({x_C};{y_C};{z_C})\). Khi đó:

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{2}} \right)\)

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Chân trời sáng tạo trong chuyên mục toán lớp 12 trên nền tảng toán học! Bộ bài tập toán thpt, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong chương trình Toán 12, phần hình học vecto đóng vai trò quan trọng, đặc biệt là khi làm quen với không gian tọa độ. Việc nắm vững lý thuyết về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết này theo chương trình Chân trời sáng tạo.

1. Vectơ trong không gian và tọa độ của vectơ

Một vectơ trong không gian Oxyz được xác định bởi tọa độ (x; y; z). Vectơ a = (x; y; z) có điểm đầu A(x_A; y_A; z_A) và điểm cuối B(x_B; y_B; z_B) được tính bằng công thức:

a = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)

Độ dài của vectơ a được tính bằng công thức:

|a| = √(x² + y² + z²)

2. Phép cộng và phép trừ vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂).

Phép cộng:a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂)
Phép trừ:a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂)

Các phép toán cộng và trừ vectơ tuân theo tính chất giao hoán và kết hợp.

3. Phép nhân vectơ với một số

Cho vectơ a = (x; y; z) và một số thực k. Phép nhân vectơ a với số k được định nghĩa là:

ka = (kx; ky; kz)

Phép nhân vectơ với một số tuân theo các tính chất phân phối đối với phép cộng và trừ vectơ.

4. Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂). Tích vô hướng của a và b được định nghĩa là:

a.b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Ý nghĩa hình học:a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.

Ứng dụng:

Tính góc giữa hai vectơ.
Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ (a.b = 0).
Tính hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác.

5. Tích có hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂). Tích có hướng của a và b được ký hiệu là [a, b] và được tính bằng công thức:

[a, b] = (y₁z₂ - z₁y₂; z₁x₂ - x₁z₂; x₁y₂ - y₁x₂)

Ý nghĩa hình học: Vectơ [a, b] vuông góc với cả hai vectơ a và b, và độ dài của nó bằng diện tích hình bình hành tạo bởi a và b.

Ứng dụng:

Tìm vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước.
Tính diện tích hình bình hành và hình tam giác.

6. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6). Tìm tọa độ của vectơ AB.

Giải:AB = (4 - 1; 5 - 2; 6 - 3) = (3; 3; 3)

Ví dụ 2: Cho a = (1; -2; 3) và b = (2; 1; -1). Tính a.b và [a, b].

Giải:

a.b = (1)(2) + (-2)(1) + (3)(-1) = 2 - 2 - 3 = -3

[a, b] = ((-2)(-1) - (3)(1); (3)(2) - (1)(-1); (1)(1) - (-2)(2)) = (2 - 3; 6 + 1; 1 + 4) = (-1; 7; 5)

7. Kết luận

Lý thuyết về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững các công thức và ứng dụng của các phép toán này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.