Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo. Đây là một trong những chủ đề quan trọng, giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất phức tạp một cách hiệu quả.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng vững chắc, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập thực hành để bạn có thể tự tin áp dụng vào các bài kiểm tra và kỳ thi.
1. Công thức xác suất toàn phần
1. Công thức xác suất toàn phần
Cho hai biến cố A và B với 0 < P(B) < 1. Khi đó \(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )\) gọi là công thức xác suất toàn phần. |
Ví dụ: Một loại xét nghiệm nhanh SARS-CoV-2 cho kết quả dương tính với 76,2% các ca thực sự nhiễm virus và kết quả âm tính với 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus. Giả sử tỉ lệ người nhiễm virus SARS-CoV-2 trong một cộng đồng là 1%. Một người trong cộng đồng đó làm xét nghiệm và nhận được kết quả dương tính. Hỏi khả năng người đó thực sự nhiễm virus là cao hay thấp?
Giải:
Gọi A là biến cố "Người làm xét nghiệm có kết quả dương tính" và B là biến cố "Người làm xét nghiệm thực sự nhiễm virus".
Đối với xét nghiệm cho kết quả dương tính, có 76,2% các ca thực sự nhiễm virus nên P(A∣B) = 0,762.P(A∣B) = 0,762.
Đối với xét nghiệm cho kết quả âm tính, có 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus nên P(A̅|B̅) = 0,991. Suy ra P(A̅|B) = 1 - 0,991 = 0,009.
Do tỉ lệ người nhiễm virus trong cộng đồng là 1%, nên P(B) = 0,01.P(B) = 0,01 và P(B̅) = 0,99.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính là:
P(A) = P(B).P(A∣B) + P(B) P(A∣B) = 0,01.0,762 + 0,99.0,009 = 0,01653.
2.Công thức Bayes
Giả sử A và B là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn P(A) > 0 và 0 < P(B) < 1. Khi đó \(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )}}\) gọi là công thức Bayes. |
Chú ý: - Công thức Bayes vẫn đúng với biến cố B bất kì. - Với P(A) > 0, công thức \(P(B\mid A) = \frac{{P\left( B \right)P(A\mid B)}}{{P(A)}}\) cũng được gọi là công thức Bayes.
Ví dụ: Một nhà máy có hai phân xưởng I và II. Phân xưởng I sản xuất 40% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm. Tỷ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.
a) Tính xác suất để sản phẩm đó bị lỗi.
b) Biết rằng sản phẩm được kiểm tra bị lỗi. Hỏi xác suất sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất cao hơn?
Giải:
a) Gọi A là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra bị lỗi” và B là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra do phân xưởng I sản xuất”.
Do phân xưởng I sản xuất 40% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm nên
\(P(B) = 0,4\) và \(P(\overline B ) = 1 - 0,4 = 0,6\).
Do tỷ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1% nên:
\(P(A|B) = 0,02\) và \(P(A|\overline B ) = 0,01\).
Xác suất để sản phẩm được kiểm tra bị lỗi là:
\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B ) = 0,4.0,02 + 0,6.0,01 = 0,014\).
b) Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất là:
\(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(A)}} = \frac{{0,4.0,02}}{{0,014}} = \frac{4}{7}\).
Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất là:
\(P(\overline B |A) = 1 - P(B|A) = \frac{3}{7}\).
Vậy nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất cao hơn xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất.
Trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo, Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất có điều kiện và các sự kiện phức tạp. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về hai khái niệm này, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập để giúp bạn hiểu rõ hơn.
a. Định nghĩa:
Giả sử A là một biến cố. Ta gọi các biến cố B1, B2, ..., Bn là một hệ đầy đủ các biến cố nếu chúng đôi một xung khắc và B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω (không gian mẫu).
Xác suất toàn phần của biến cố A là:
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn) = ∑i=1n P(A|Bi)P(Bi)
b. Ý nghĩa:
Công thức xác suất toàn phần cho phép ta tính xác suất của một biến cố A khi nó có thể xảy ra thông qua nhiều con đường khác nhau, mỗi con đường được xác định bởi một biến cố Bi.
c. Ví dụ minh họa:
Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất A và B. Dây chuyền A sản xuất 60% tổng số sản phẩm, trong đó có 5% sản phẩm bị lỗi. Dây chuyền B sản xuất 40% tổng số sản phẩm, trong đó có 2% sản phẩm bị lỗi. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên từ nhà máy là sản phẩm bị lỗi.
Giải:
Gọi A là biến cố sản phẩm được chọn từ dây chuyền A, B là biến cố sản phẩm được chọn từ dây chuyền B, và L là biến cố sản phẩm bị lỗi.
Ta có: P(A) = 0.6, P(B) = 0.4, P(L|A) = 0.05, P(L|B) = 0.02
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
P(L) = P(L|A)P(A) + P(L|B)P(B) = 0.05 * 0.6 + 0.02 * 0.4 = 0.03 + 0.008 = 0.038
Vậy xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên từ nhà máy là sản phẩm bị lỗi là 0.038.
a. Định nghĩa:
Công thức Bayes cho phép ta tính xác suất có điều kiện P(Bi|A) của biến cố Bi khi biết biến cố A đã xảy ra, dựa trên xác suất toàn phần.
P(Bi|A) = [P(A|Bi)P(Bi)] / P(A)
Trong đó P(A) được tính theo công thức xác suất toàn phần.
b. Ý nghĩa:
Công thức Bayes cho phép ta cập nhật niềm tin về một biến cố dựa trên bằng chứng mới (biến cố A).
c. Ví dụ minh họa:
Sử dụng dữ liệu từ ví dụ trên, tính xác suất một sản phẩm bị lỗi được chọn từ dây chuyền A.
Giải:
Ta đã tính được P(L) = 0.038. Ta cần tính P(A|L).
Áp dụng công thức Bayes:
P(A|L) = [P(L|A)P(A)] / P(L) = (0.05 * 0.6) / 0.038 = 0.03 / 0.038 ≈ 0.7895
Vậy xác suất một sản phẩm bị lỗi được chọn từ dây chuyền A là khoảng 78.95%.
Bài 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất cả hai quả bóng đều màu đỏ.
Bài 2: Một cuộc khảo sát cho thấy 60% người dân thích xem phim hành động, 40% người dân thích xem phim hài. Trong số những người thích xem phim hành động, 70% thích xem phim có diễn viên A. Trong số những người thích xem phim hài, 30% thích xem phim có diễn viên A. Tính xác suất một người được chọn ngẫu nhiên thích xem phim có diễn viên A.
Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes là những công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán xác suất phức tạp. Việc nắm vững hai khái niệm này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc đối phó với các tình huống thực tế liên quan đến xác suất và thống kê.
