Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo. Mục 2 trang 59,60 tập trung vào các kiến thức quan trọng về đạo hàm, một trong những chủ đề nền tảng của giải tích.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự học Toán đôi khi gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giaibaitoan.com đã biên soạn lời giải chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa để giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\).
a) Biểu diễn từng vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) theo ba vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \)
b) Tính các tích vô hướng \({\overrightarrow i ^2},{\overrightarrow j ^2},{\overrightarrow k ^2}\), \(\overrightarrow i .\overrightarrow j \), \(\overrightarrow j .\overrightarrow k \), \(\overrightarrow k .\overrightarrow i \)
c) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) theo toạ độ của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |.\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3}) = {a_1}(1;0;0) + {a_2}(0;0;1) + {a_3}(0;0;1) = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k \)
\(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3}) = {b_1}(1;0;0) + {b_2}(0;0;1) + {b_3}(0;0;1) = {b_1}\overrightarrow i + {b_2}\overrightarrow j + {b_3}\overrightarrow k \)
b) \({\overrightarrow i ^2} = \overrightarrow i .\overrightarrow i = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow i |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow i ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\({\overrightarrow j ^2} = \overrightarrow j .\overrightarrow j = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\({\overrightarrow k ^2} = \overrightarrow k .\overrightarrow k = |\overrightarrow k |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow k ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\(\overrightarrow i .\overrightarrow j = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
\(\overrightarrow j .\overrightarrow k = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
\(\overrightarrow i .\overrightarrow k = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
c) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = ({a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k ) . ({b_1}\overrightarrow i + {b_2}\overrightarrow j + {b_3}\overrightarrow k )\)
\( = {a_1}{b_1}{\overrightarrow i ^2} + {a_1}{b_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j + {a_1}{b_3}\overrightarrow i .\overrightarrow k + {a_2}{b_1}\overrightarrow i .\overrightarrow j + {a_2}{b_2}{\overrightarrow j ^2} + {a_2}{b_3}\overrightarrow j .\overrightarrow k + {a_3}{b_1}\overrightarrow i .\overrightarrow k + {a_3}{b_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k + {a_3}{b_3}{\overrightarrow k ^2}\)
\( = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 60 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho ba vectơ \(\overrightarrow m = ( - 5;4;9)\), \(\overrightarrow n = (2; - 7;0)\), \(\overrightarrow p = (6;3; - 4)\).
a) Tính \(\overrightarrow m .\overrightarrow n \), \(\overrightarrow m .\overrightarrow p \)
b) Tính \(|\overrightarrow m |\), \(|\overrightarrow n |\), \(\cos (\overrightarrow m ,\overrightarrow n )\)
c) Cho \(\overrightarrow q = (1; - 2;0)\). Vectơ \(\overrightarrow q \) có vuông góc với \(\overrightarrow p \) không?
Phương pháp giải:
a) Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\), ta có biểu thức tọa độ của tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)
b) Công thức tính độ lớn vecto: \(|\overrightarrow a | = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} \)
c) \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow m .\overrightarrow n = - 5.2 + 4.( - 7) = - 38\)
\(\overrightarrow m .\overrightarrow p = ( - 5).6 + 4.3 + 9.( - 4) = - 54\)
b) \(|\overrightarrow m | = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {4^2} + {9^2}} = \sqrt {122} \)
\(|\overrightarrow n | = \sqrt {{2^2} + {{( - 7)}^2}} = \sqrt {53} \)
\(\cos (\overrightarrow m ,\overrightarrow n ) = \frac{{\overrightarrow m .\overrightarrow n }}{{|\overrightarrow m |.|\overrightarrow n |}} = \frac{{ - 38}}{{\sqrt {122} .\sqrt {53} }} = - \frac{{19\sqrt {6466} }}{{3233}}\)
c) \(\overrightarrow q .\overrightarrow p = 1.6 + 3.(-2) - 4.0 = 0\) nên \(\overrightarrow q \) vuông góc với \(\overrightarrow p \).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 60 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình 2) được đẩy bởi một lực \(\overrightarrow f = (5;4; - 2)\) (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời \(\overrightarrow a = (70;20; - 40)\) (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực \(\overrightarrow f \)
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính công \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \)
Lời giải chi tiết:
Công sinh bởi lực \(\overrightarrow f \) là: \(A = \overrightarrow f .\overrightarrow a = 5.70 + 4.20 - 2.( - 40) = 510J\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\).
a) Biểu diễn từng vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) theo ba vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \)
b) Tính các tích vô hướng \({\overrightarrow i ^2},{\overrightarrow j ^2},{\overrightarrow k ^2}\), \(\overrightarrow i .\overrightarrow j \), \(\overrightarrow j .\overrightarrow k \), \(\overrightarrow k .\overrightarrow i \)
c) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) theo toạ độ của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |.\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3}) = {a_1}(1;0;0) + {a_2}(0;0;1) + {a_3}(0;0;1) = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k \)
\(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3}) = {b_1}(1;0;0) + {b_2}(0;0;1) + {b_3}(0;0;1) = {b_1}\overrightarrow i + {b_2}\overrightarrow j + {b_3}\overrightarrow k \)
b) \({\overrightarrow i ^2} = \overrightarrow i .\overrightarrow i = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow i |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow i ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\({\overrightarrow j ^2} = \overrightarrow j .\overrightarrow j = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\({\overrightarrow k ^2} = \overrightarrow k .\overrightarrow k = |\overrightarrow k |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow k ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\(\overrightarrow i .\overrightarrow j = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
\(\overrightarrow j .\overrightarrow k = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
\(\overrightarrow i .\overrightarrow k = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
c) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = ({a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k ) . ({b_1}\overrightarrow i + {b_2}\overrightarrow j + {b_3}\overrightarrow k )\)
\( = {a_1}{b_1}{\overrightarrow i ^2} + {a_1}{b_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j + {a_1}{b_3}\overrightarrow i .\overrightarrow k + {a_2}{b_1}\overrightarrow i .\overrightarrow j + {a_2}{b_2}{\overrightarrow j ^2} + {a_2}{b_3}\overrightarrow j .\overrightarrow k + {a_3}{b_1}\overrightarrow i .\overrightarrow k + {a_3}{b_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k + {a_3}{b_3}{\overrightarrow k ^2}\)
\( = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 60 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho ba vectơ \(\overrightarrow m = ( - 5;4;9)\), \(\overrightarrow n = (2; - 7;0)\), \(\overrightarrow p = (6;3; - 4)\).
a) Tính \(\overrightarrow m .\overrightarrow n \), \(\overrightarrow m .\overrightarrow p \)
b) Tính \(|\overrightarrow m |\), \(|\overrightarrow n |\), \(\cos (\overrightarrow m ,\overrightarrow n )\)
c) Cho \(\overrightarrow q = (1; - 2;0)\). Vectơ \(\overrightarrow q \) có vuông góc với \(\overrightarrow p \) không?
Phương pháp giải:
a) Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\), ta có biểu thức tọa độ của tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)
b) Công thức tính độ lớn vecto: \(|\overrightarrow a | = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} \)
c) \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow m .\overrightarrow n = - 5.2 + 4.( - 7) = - 38\)
\(\overrightarrow m .\overrightarrow p = ( - 5).6 + 4.3 + 9.( - 4) = - 54\)
b) \(|\overrightarrow m | = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {4^2} + {9^2}} = \sqrt {122} \)
\(|\overrightarrow n | = \sqrt {{2^2} + {{( - 7)}^2}} = \sqrt {53} \)
\(\cos (\overrightarrow m ,\overrightarrow n ) = \frac{{\overrightarrow m .\overrightarrow n }}{{|\overrightarrow m |.|\overrightarrow n |}} = \frac{{ - 38}}{{\sqrt {122} .\sqrt {53} }} = - \frac{{19\sqrt {6466} }}{{3233}}\)
c) \(\overrightarrow q .\overrightarrow p = 1.6 + 3.(-2) - 4.0 = 0\) nên \(\overrightarrow q \) vuông góc với \(\overrightarrow p \).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 60 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình 2) được đẩy bởi một lực \(\overrightarrow f = (5;4; - 2)\) (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời \(\overrightarrow a = (70;20; - 40)\) (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực \(\overrightarrow f \)
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính công \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \)
Lời giải chi tiết:
Công sinh bởi lực \(\overrightarrow f \) là: \(A = \overrightarrow f .\overrightarrow a = 5.70 + 4.20 - 2.( - 40) = 510J\)
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc tìm hiểu về đạo hàm của hàm số tại một điểm và đạo hàm của hàm số. Đây là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số, cực trị, và ứng dụng trong thực tế.
Trước khi đi vào giải các bài tập cụ thể, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản sau:
Các bài tập trong mục 2 thường yêu cầu:
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^2 + 2x - 1 tại điểm x = 1.
Lời giải:
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = \sin(x).
Lời giải:
Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số lượng giác, ta có: f'(x) = \cos(x)
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ tự tin giải các bài tập mục 2 trang 59,60 SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
