Chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo, phần Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số là một trong những chủ đề quan trọng, đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của nó. Nắm vững lý thuyết này giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số và tìm cực trị một cách hiệu quả.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, bài giảng chi tiết và bài tập thực hành đa dạng để giúp bạn hiểu sâu sắc và áp dụng thành thạo kiến thức này.
Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số 1. Tính đơn điệu của hàm số
1. Tính đơn điệu của hàm số
Định lý 1
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K
|
Chú ý:
a) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, f’(x) 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, f’(x) 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
c) Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số không đổi trên K.
2. Cực trị của hàm số
Khái niệm cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập \(K \subset R\), trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng và \({x_0} \in K,{x_1} \in K\)
|
Định lý
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó: a) Nếu f’(x) < 0 với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\) b) Nếu f’(x) > 0 với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\) |
Trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo, việc nắm vững lý thuyết về tính đơn điệu và cực trị của hàm số là vô cùng quan trọng. Nó không chỉ là nền tảng cho việc giải quyết các bài toán cụ thể mà còn là bước đệm để hiểu sâu hơn về các khái niệm toán học cao cấp hơn.
Một hàm số được gọi là đồng biến trên một khoảng nếu với mọi x1, x2 thuộc khoảng đó, x1 < x2 thì f(x1) ≤ f(x2). Hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng nếu với mọi x1, x2 thuộc khoảng đó, x1 < x2 thì f(x1) ≥ f(x2).
Để xét tính đơn điệu của hàm số, chúng ta thường sử dụng đạo hàm. Cụ thể:
Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x0) ≥ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x0) ≤ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
Điều kiện cần: Nếu hàm số f(x) có cực trị tại x0 thì f'(x0) = 0 hoặc f'(x0) không tồn tại.
Điều kiện đủ:
Lý thuyết này được ứng dụng rộng rãi trong việc:
Xét hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Ta có f'(x) = 3x2 - 6x. Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
f''(x) = 6x - 6.
f''(0) = -6 < 0, suy ra x = 0 là điểm cực đại và f(0) = 2 là giá trị cực đại.
f''(2) = 6 > 0, suy ra x = 2 là điểm cực tiểu và f(2) = -2 là giá trị cực tiểu.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan về lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng thành thạo vào giải bài tập.
