Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài tập 3 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 theo chương trình Chân trời sáng tạo.
Chúng tôi cam kết cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và giúp bạn nắm vững kiến thức Toán học.
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
Đề bài
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C} \) để tìm \(F\left( x \right)\), sau đó dùng điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\) để xác định hằng số \(C\).
Lời giải chi tiết
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C\),
Do \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\) nên \( - \cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 1 \Rightarrow 0 + C = 1 \Rightarrow C = 1\).
Vậy \(F\left( x \right) = - \cot x + 1\) là hàm số cần tìm.
Bài tập 3 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo thuộc chủ đề về giới hạn của hàm số. Đây là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 12, làm nền tảng cho việc học các khái niệm về đạo hàm và tích phân. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn hàm số sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.
Bài tập 3 bao gồm các câu hỏi liên quan đến việc tính giới hạn của hàm số tại một điểm. Các dạng bài tập thường gặp bao gồm:
Để tính giới hạn này, ta có thể phân tích tử số thành nhân tử:
(x2 - 4) = (x - 2)(x + 2)
Do đó:
limx→2 (x2 - 4) / (x - 2) = limx→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = limx→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4
Tương tự như câu a, ta phân tích tử số thành nhân tử:
(x3 - 1) = (x - 1)(x2 + x + 1)
Do đó:
limx→1 (x3 - 1) / (x - 1) = limx→1 (x - 1)(x2 + x + 1) / (x - 1) = limx→1 (x2 + x + 1) = 12 + 1 + 1 = 3
Đây là một giới hạn lượng giác cơ bản. Ta có thể sử dụng định lý giới hạn đặc biệt:
limx→0 sin(x) / x = 1
Kiến thức về giới hạn hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của Toán học và các ngành khoa học khác. Ví dụ:
Bài tập 3 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn hàm số. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các bạn học sinh có thể tự tin giải quyết bài tập và nắm vững kiến thức Toán học.
Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá thêm nhiều bài tập khác tại giaibaitoan.com để nâng cao trình độ Toán học của bạn!
