Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 4 trang 48, 49, 50 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Giaibaitoan.com cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
Chúng tôi hiểu rằng việc học Toán đôi khi có thể gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của giaibaitoan.com đã biên soạn lời giải chi tiết, kèm theo các bước giải thích rõ ràng, giúp các em hiểu sâu sắc bản chất của bài toán.
Tích vô hướng của hai vectơ
Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 48 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong mặt phẳng.
b) Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong không gian?
Phương pháp giải:
Nhớ lại định nghĩa đã học về góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong mặt phẳng và suy luận ra góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong không gian.
Lời giải chi tiết:
a) Trong mặt phẳng, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
b) Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
Trả lời câu hỏi Khám phá 6 trang 49 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian, cho \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) thoả mãn \(|\overrightarrow u | = 2\) , \(|\overrightarrow v | = 3\). Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \), \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \) (Hình 24). Giả sử \(\widehat {BAC} = 60^\circ \)
a) Tính góc \((\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\)
b) Trong mặt phẳng (ABC), tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
Phương pháp giải:
a) Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
b) Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = |\overrightarrow u |.|\overrightarrow v |.\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\)
Lời giải chi tiết:
a) Góc \((\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\) = \(\widehat {BAC} = 60^\circ \)
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) = \(AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 2.3.\cos 60^\circ = 3\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 8 trang 48 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Xác định góc \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} ),(\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} )\)
Phương pháp giải:
Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
Lời giải chi tiết:
Góc \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} )\) = góc \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} )\) = \(90^\circ \) (góc giữa 2 đường chéo của hình vuông)
\((\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} ) = (\overrightarrow {B'B} ,\overrightarrow {CB'} ) = {180^o} - (\overrightarrow {B'B} ,\overrightarrow {B'C} ) = {180^o} - {45^o} = {135^o}\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 9 trang 50 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1.
a) Tính các tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} \), \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} \)
b) Tính góc \((\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC'} )\) (kết quả làm tròn đến phút).
Phương pháp giải:
a) Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = |\overrightarrow u |.|\overrightarrow v |.\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\)
b) Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 1.\sqrt 2 .\cos 45^\circ = 1\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BB'} = 0\) vì \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {BB'} \)
b) Xét tam giác CAC’ vuông tại C:
\(AC = \sqrt 2 \); CC’ = 1 => \(\tan (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC'} ) = \tan \widehat {C'AC} = \frac{{CC'}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {C'AC} = 35^\circ \).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 50 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là \(30^\circ \) (Hình 26).
a) Tính độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g \) tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do \(\overrightarrow g \) có độ lớn 9,8\(m/{s^2}\)
b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực \(\overrightarrow F \) có độ dịch chuyển \(\overrightarrow d \) được tính bởi công thức \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \). Hãy tính công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow P \) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.
Phương pháp giải:
a) Áp dụng công thức tính trọng lực P = mg
b) Công thức tính công: \(A = Fs\cos \alpha \)
Lời giải chi tiết:
a) Độ lớn trọng lực tác dụng lên em nhỏ là: \(P = mg = 25.9,8 = 245N\)
b) Công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow P \) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là: \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d = Pd\cos 60^\circ = 245.3,5.\frac{1}{2} = 428,75J\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 48 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong mặt phẳng.
b) Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong không gian?
Phương pháp giải:
Nhớ lại định nghĩa đã học về góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong mặt phẳng và suy luận ra góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong không gian.
Lời giải chi tiết:
a) Trong mặt phẳng, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
b) Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
Trả lời câu hỏi Thực hành 8 trang 48 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Xác định góc \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} ),(\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} )\)
Phương pháp giải:
Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
Lời giải chi tiết:
Góc \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} )\) = góc \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} )\) = \(90^\circ \) (góc giữa 2 đường chéo của hình vuông)
\((\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} ) = (\overrightarrow {B'B} ,\overrightarrow {CB'} ) = {180^o} - (\overrightarrow {B'B} ,\overrightarrow {B'C} ) = {180^o} - {45^o} = {135^o}\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 6 trang 49 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian, cho \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) thoả mãn \(|\overrightarrow u | = 2\) , \(|\overrightarrow v | = 3\). Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \), \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \) (Hình 24). Giả sử \(\widehat {BAC} = 60^\circ \)
a) Tính góc \((\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\)
b) Trong mặt phẳng (ABC), tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
Phương pháp giải:
a) Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
b) Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = |\overrightarrow u |.|\overrightarrow v |.\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\)
Lời giải chi tiết:
a) Góc \((\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\) = \(\widehat {BAC} = 60^\circ \)
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) = \(AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 2.3.\cos 60^\circ = 3\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 9 trang 50 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1.
a) Tính các tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} \), \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} \)
b) Tính góc \((\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC'} )\) (kết quả làm tròn đến phút).
Phương pháp giải:
a) Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = |\overrightarrow u |.|\overrightarrow v |.\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\)
b) Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 1.\sqrt 2 .\cos 45^\circ = 1\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BB'} = 0\) vì \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {BB'} \)
b) Xét tam giác CAC’ vuông tại C:
\(AC = \sqrt 2 \); CC’ = 1 => \(\tan (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC'} ) = \tan \widehat {C'AC} = \frac{{CC'}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {C'AC} = 35^\circ \).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 50 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là \(30^\circ \) (Hình 26).
a) Tính độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g \) tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do \(\overrightarrow g \) có độ lớn 9,8\(m/{s^2}\)
b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực \(\overrightarrow F \) có độ dịch chuyển \(\overrightarrow d \) được tính bởi công thức \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \). Hãy tính công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow P \) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.
Phương pháp giải:
a) Áp dụng công thức tính trọng lực P = mg
b) Công thức tính công: \(A = Fs\cos \alpha \)
Lời giải chi tiết:
a) Độ lớn trọng lực tác dụng lên em nhỏ là: \(P = mg = 25.9,8 = 245N\)
b) Công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow P \) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là: \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d = Pd\cos 60^\circ = 245.3,5.\frac{1}{2} = 428,75J\)
Mục 4 của SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số lượng giác. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12, đóng vai trò nền tảng cho việc giải quyết các bài toán liên quan đến tối ưu hóa, khảo sát hàm số và ứng dụng thực tế.
Lời giải:
Lời giải:
y' = cos(x)cos(x) - sin(x)sin(x) = cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x)
y'' = -2sin(2x)
Lời giải:
Hàm số đạt cực đại tại x = π/2, giá trị cực đại là y(π/2) = π/2.
Để giải các bài tập về đạo hàm hàm số lượng giác một cách hiệu quả, các em cần nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản, quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm số lượng giác ngược. Ngoài ra, việc luyện tập thường xuyên và áp dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập cụ thể là rất quan trọng.
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các em sẽ hiểu rõ hơn về đạo hàm của hàm số lượng giác và tự tin giải quyết các bài toán tương tự. Chúc các em học tập tốt!
