Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 2 của giaibaitoan.com. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2, trang 14, 15 và 16 của sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Khái niệm tích phân
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_1^3 {2xdx} \)
b) \(\int\limits_0^\pi {\sin tdt} \)
c) \(\int\limits_0^{\ln 2} {{e^u}du} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\), với \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int\limits_1^3 {2xdx} = \left. {{x^2}} \right|_1^3 = {3^2} - {1^2} = 8\)
b) \(\int\limits_0^\pi {\sin tdt} = \left. {\left( { - \cos t} \right)} \right|_0^\pi = \left( { - \cos \pi } \right) - \left( { - \cos 0} \right) = 2\)
c) \(\int\limits_0^{\ln 2} {{e^u}du} = \left. {{e^u}} \right|_0^2 = {e^2} - {e^0} = {e^2} - 1\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ \(v\left( t \right) = 2t - 0,03{t^2}\) \(\left( {0 \le t \le 10} \right)\), trong đó \(v\left( t \right)\) tính theo \({\rm{m/s}}\), thời gian \(t\) tính theo giây với \(t = 0\) là thời điểm xe xuất phát.
a) Tính quãng đường xe đi được sau 5 giây, sau 10 giây.
b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) đến \(t = 10\).
Phương pháp giải:
Gọi \(s\left( t \right)\) (m) là quãng đường ô tô đi được sau \(t\) giây.
Ta có \(s\left( t \right)\) là nguyên hàm của \(v\left( t \right)\).
a) Quãng đường xe đi được sau 5 giây là \(s\left( 5 \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt} \)
Quãng đường xe đi được sau 10 giây là \(s\left( {10} \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt} \)
b) Tốc độ trung bình của xe là \({v_{tb}} = \frac{s}{t}\), với \(s\) là quãng đường xe đi được trong khoảng thời gian \(t = 10\) giây.
Lời giải chi tiết:
a) Gọi \(s\left( t \right)\) (m) là quãng đường ô tô đi được sau \(t\) giây.
Ta có \(s\left( t \right)\) là nguyên hàm của \(v\left( t \right)\).
a) Quãng đường xe đi được sau 5 giây là
\(s\left( 5 \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^5 {\left( {2t - 0,03{t^2}} \right)dt} = \left. {\left( {{t^2} - 0,01{t^3}} \right)} \right|_0^5\)
\( = \left( {{5^2} - 0,{{01.5}^3}} \right) - \left( {{0^2} - 0,{{01.0}^3}} \right) = 23,75\)
Quãng đường xe đi được sau 10 giây là
\(s\left( {10} \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{10} {\left( {2t - 0,03{t^2}} \right)dt} = \left. {\left( {{t^2} - 0,01{t^3}} \right)} \right|_0^{10}\)
\( = \left( {{{10}^2} - 0,{{01.10}^3}} \right) - \left( {{0^2} - 0,{{01.0}^3}} \right) = 90\)
b) Tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) đến \(t = 10\) là:
\({v_{tb}} = \frac{s}{t} = \frac{{90}}{{10}} = 9\)\(\left( {{\rm{m/s}}} \right)\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 14 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x - 1\). Lấy hai nguyên hàm tuỳ ý \(F\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\) của \(f\left( x \right)\), rồi tính \(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)\) và \(G\left( 3 \right) - G\left( 0 \right)\). Nhận xét về kết quả nhận được.
Phương pháp giải:
Tính \(\int {f\left( x \right)dx} \), sau đó chọn hai nguyên hàm \(F\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\). So sánh \(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)\) và \(G\left( 3 \right) - G\left( 0 \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x - 1} \right)dx} = {x^2} - x + C\)
Chọn \(F\left( x \right) = {x^2} - x\) và \(G\left( x \right) = {x^2} - x + 1\).
Ta có
\(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \left( {{3^2} - 3} \right) - \left( {{0^2} - 0} \right) = 6\)
\(G\left( 3 \right) - G\left( 0 \right) = \left( {{3^2} - 3 + 1} \right) - \left( {{0^2} - 0 + 1} \right) = 6\)
Như vậy \(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = G\left( 3 \right) - G\left( 0 \right)\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 14 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x - 1\). Lấy hai nguyên hàm tuỳ ý \(F\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\) của \(f\left( x \right)\), rồi tính \(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)\) và \(G\left( 3 \right) - G\left( 0 \right)\). Nhận xét về kết quả nhận được.
Phương pháp giải:
Tính \(\int {f\left( x \right)dx} \), sau đó chọn hai nguyên hàm \(F\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\). So sánh \(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)\) và \(G\left( 3 \right) - G\left( 0 \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x - 1} \right)dx} = {x^2} - x + C\)
Chọn \(F\left( x \right) = {x^2} - x\) và \(G\left( x \right) = {x^2} - x + 1\).
Ta có
\(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \left( {{3^2} - 3} \right) - \left( {{0^2} - 0} \right) = 6\)
\(G\left( 3 \right) - G\left( 0 \right) = \left( {{3^2} - 3 + 1} \right) - \left( {{0^2} - 0 + 1} \right) = 6\)
Như vậy \(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = G\left( 3 \right) - G\left( 0 \right)\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_1^3 {2xdx} \)
b) \(\int\limits_0^\pi {\sin tdt} \)
c) \(\int\limits_0^{\ln 2} {{e^u}du} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\), với \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int\limits_1^3 {2xdx} = \left. {{x^2}} \right|_1^3 = {3^2} - {1^2} = 8\)
b) \(\int\limits_0^\pi {\sin tdt} = \left. {\left( { - \cos t} \right)} \right|_0^\pi = \left( { - \cos \pi } \right) - \left( { - \cos 0} \right) = 2\)
c) \(\int\limits_0^{\ln 2} {{e^u}du} = \left. {{e^u}} \right|_0^2 = {e^2} - {e^0} = {e^2} - 1\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ \(v\left( t \right) = 2t - 0,03{t^2}\) \(\left( {0 \le t \le 10} \right)\), trong đó \(v\left( t \right)\) tính theo \({\rm{m/s}}\), thời gian \(t\) tính theo giây với \(t = 0\) là thời điểm xe xuất phát.
a) Tính quãng đường xe đi được sau 5 giây, sau 10 giây.
b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) đến \(t = 10\).
Phương pháp giải:
Gọi \(s\left( t \right)\) (m) là quãng đường ô tô đi được sau \(t\) giây.
Ta có \(s\left( t \right)\) là nguyên hàm của \(v\left( t \right)\).
a) Quãng đường xe đi được sau 5 giây là \(s\left( 5 \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt} \)
Quãng đường xe đi được sau 10 giây là \(s\left( {10} \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt} \)
b) Tốc độ trung bình của xe là \({v_{tb}} = \frac{s}{t}\), với \(s\) là quãng đường xe đi được trong khoảng thời gian \(t = 10\) giây.
Lời giải chi tiết:
a) Gọi \(s\left( t \right)\) (m) là quãng đường ô tô đi được sau \(t\) giây.
Ta có \(s\left( t \right)\) là nguyên hàm của \(v\left( t \right)\).
a) Quãng đường xe đi được sau 5 giây là
\(s\left( 5 \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^5 {\left( {2t - 0,03{t^2}} \right)dt} = \left. {\left( {{t^2} - 0,01{t^3}} \right)} \right|_0^5\)
\( = \left( {{5^2} - 0,{{01.5}^3}} \right) - \left( {{0^2} - 0,{{01.0}^3}} \right) = 23,75\)
Quãng đường xe đi được sau 10 giây là
\(s\left( {10} \right) - s\left( 0 \right) = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{10} {\left( {2t - 0,03{t^2}} \right)dt} = \left. {\left( {{t^2} - 0,01{t^3}} \right)} \right|_0^{10}\)
\( = \left( {{{10}^2} - 0,{{01.10}^3}} \right) - \left( {{0^2} - 0,{{01.0}^3}} \right) = 90\)
b) Tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) đến \(t = 10\) là:
\({v_{tb}} = \frac{s}{t} = \frac{{90}}{{10}} = 9\)\(\left( {{\rm{m/s}}} \right)\)
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số. Đạo hàm đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự biến thiên của hàm số, tìm cực trị, và giải quyết nhiều bài toán thực tế. Việc nắm vững các công thức và quy tắc tính đạo hàm là vô cùng quan trọng.
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các quy tắc tính đạo hàm cơ bản như quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, và đạo hàm của hàm hợp. Cần chú ý đến việc xác định đúng các hàm số thành phần và áp dụng quy tắc đạo hàm một cách chính xác.
Bài tập này yêu cầu học sinh tính đạo hàm bậc hai, tức là đạo hàm của đạo hàm bậc nhất. Việc này đòi hỏi sự cẩn thận và chính xác trong các phép tính đạo hàm.
Ví dụ: Nếu y' = 3x2 + 4x - 5, thì y'' = 6x + 4.
Để tìm cực trị của hàm số, ta cần thực hiện các bước sau:
Ví dụ: Xét hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Ta có y' = 3x2 - 6x. Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2. Xét dấu của y' trên các khoảng (-∞, 0), (0, 2), và (2, +∞), ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.
| Hàm số y | Đạo hàm y' |
|---|---|
| y = c (hằng số) | y' = 0 |
| y = xn | y' = nxn-1 |
| y = sin x | y' = cos x |
| y = cos x | y' = -sin x |
| y = ex | y' = ex |
| y = ln x | y' = 1/x |
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em học sinh đã có thể tự tin giải các bài tập trong mục 2 trang 14, 15, 16 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!
